《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 6 cm,BC= 7 cm.点P从点B开始,沿边BA向点A以2 cm/s的速度移动,同时点Q从点C开始,沿边CB向点B以1 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止移动,连接PQ.当四边形APQC的面积为$11 cm^2$时,点P的移动时间为(C)
A.1 s
B.1 s或2.5 s
C.2 s
D.2 s或5 s

答案： C

2. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 6 cm,BC= 3 cm,点P以1 cm/s的速度从点A开始,沿边AB向点B移动,点Q以2 cm/s的速度从点B开始,沿边BC向点C移动.当点Q移动到点C时停止,点P也随之停止移动,连接PQ.如果点P、Q分别从点A、B同时出发,t s后点P、Q之间的距离为$4\sqrt{2}$ cm,那么t的值为(A)
A.$\frac{2}{5}$
B.2
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{2}{5}$或2

答案： A

3. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,那么它的周长为24.

答案： 24

4. 如图,在矩形ABCD中,AB= 6 cm,BC= 8 cm,点P从点A开始,沿边AB以1 cm/s的速度向点B移动,同时点Q从点B开始,沿边BC以2 cm/s的速度向点C移动,当P、Q两点中有一个点到达终点时,另一个点也停止移动,连接DP、PQ、DQ.当△DPQ的面积比△PBQ的面积大$19.5 cm^2$时,求点P的移动时间.

答案： 设当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5cm²时,点P的移动时间为x s,则AP=x cm,BQ=2x cm.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB=CD=6 cm,BC=AD=8 cm.
∴ BP=(6 - x)cm,CQ=(8 - 2x)cm.根据题意,得S△ADP+S△PBQ+S△CDQ+S△DPQ=S矩形ABCD.
∴ $\frac{1}{2}×8x+\frac{1}{2}×2x(6 - x)+\frac{1}{2}×6(8 - 2x)+\left[\frac{1}{2}×2x(6 - x)+19.5\right]=6×8$.
化简,得4x² - 20x + 9 = 0,解得x₁ = 0.5,x₂ = 4.5.由题意,易得0 ＜ x ≤ 4.
∴ x = 0.5.
∴ 当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5cm²时,点P的移动时间为0.5 s.

5. 如图,将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分的面积为$32 cm^2,$则△ABC移动的距离AA'等于(D)
A.4 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.4 cm或8 cm

答案： D 解析:如图,设AA' = x cm,则A'D = (12 - x)cm.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠D = 90°,AD = CD.
∴ ∠DAC = 45°.同理可证∠B'A'C' = 45°.
∵ △A'B'C'由△ABC沿着AD方向平移得到,
∴ A'B'⊥AD.
∴ ∠A'EA = 45°.
∴ ∠B'A'C' = ∠A'EA = ∠DAC.
∴ A'F//EC,A'E = AA' = x cm.
∵ A'E//CF,
∴ 四边形A'ECF为平行四边形.
∴ 易得S□A'ECF = A'E·A'D.
∴ x(12 - x) = 32,解得x₁ = 4,x₂ = 8.

6. 新考向·代数推理 如图①,在矩形ABCD中,E为BC的中点,点P沿边BC从点B运动到点C,设B、P两点间的距离为x,PA-PE= y,点P运动时y随x变化的函数图像如图②所示,则BC的长是______6.

答案： 6 解析:根据函数图像,可得当x = 0,即点P与点B重合时,AB - BE = 1.在△PAE中,
∵ 三角形任意两边之差小于第三边,
∴ PA - PE ＜ AE.当且仅当点P与点E重合时有PA - PE = AE,
∴ y有最大值为AE.
∴ AE = 5.设BE = a,则AB = a + 1.在Rt△ABE中,AB² + BE² = AE²,
∴ (a + 1)² + a² = 5²,解得a₁ = 3,a₂ = - 4(不合题意,舍去).
∴ BE = 3.
∵ E为BC的中点,
∴ BC = 2BE = 2×3 = 6.