《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

11. 如图,AB、AC 是$\odot O$的两条弦,且$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$.
(1) 求证:AO 平分$\angle BAC$;
(2) 若$AB= 4\sqrt{5}$,$BC= 8$,求半径 OA.

答案：
(1)如图,连接OB、OC.
∵ $\widehat{AB}=\widehat{AC}$,
∴ AB=AC.在△AOB和△AOC中,$\left\{\begin{array}{l}AB=AC,\\ OB=OC,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
∴ △AOB≌△AOC.
∴ ∠1=∠2.
∴ AO平分∠BAC.
(2)如图,延长AO交BC于点E.
∵ AB=AC,AO平分∠BAC,
∴ AE⊥BC,BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4.
∴ AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}$=8.设OA=OB=x.
∵ OB²=OE²+BE²,
∴ x²=(8 - x)²+4²,解得x=5.
∴ 半径OA为5.

12. 如图,AB、CD 是$\odot O$的弦,延长 AB、CD相交于点 E.已知$\angle E= 30^{\circ}$,$\angle AOC= 100^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数是 (B)
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： B 解析:如图,连接AC、OB、OD.
∵ OA=OC,∠AOC=100°,
∴ ∠OAC=∠OCA=40°.
∵ ∠E=30°,
∴ ∠EAC+∠ECA=180° - 30°=150°.
∴ ∠OAB+∠OCD=150° - 40° - 40°=70°.
∵ OA=OB=OC=OD,
∴ ∠OAB=∠OBA,∠OCD=∠ODC.
∴ ∠AOB+∠COD=180°×2 - 70°×2=220°.
∴ ∠BOD=360° - 100° - 220°=40°.

13. 小明在完成作业“如图①,$\angle AOB= 90^{\circ}$,C、D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,连接 CD、OC、OD,弦 AB 分别交 OC、OD 于点 E、F,求证:$AE= BF= CD$”的基础上,做了如下尝试:把$\angle AOB= 90^{\circ}改为\angle AOB= 120^{\circ}$,其他条件不变,证明成功后,大胆猜想“如图②,$\angle AOB= n^{\circ}$,C、D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,连接 CD、OC、OD,弦 AB 分别交 OC、OD 于点 E、F,求证:$AE= BF= CD$”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程.

答案： 尝试:连接AC、BD.
∵ ∠AOB=120°,C、D是$\widehat{AB}$的三等分点,
∴ ∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=$\frac{1}{3}$×120°=40°.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}$(180° - ∠AOB)=30°.
∵ ∠AOC=40°,
∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+40°=70°.
∵ OA=OC,∠AOC=40°,
∴ ∠ACE=∠OAC=$\frac{1}{2}$(180° - ∠AOC)=70°.
∴ ∠ACE=∠AEC.
∴ AC=AE.同理,可得BF=BD.
∵ C、D是$\widehat{AB}$的三等分点,
∴ AC=CD=BD.
∴ AE=BF=CD. 猜想:连接AC、BD.
∵ 在⊙O中,∠AOB=n°,C、D是$\widehat{AB}$的三等分点,
∴ ∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=($\frac{n}{3}$)°.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}$(180° - ∠AOB)=($\frac{180 - n}{2}$)°.
∵ ∠AOC=($\frac{n}{3}$)°,
∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=($\frac{180 - n}{2}$+$\frac{n}{3}$)°=(90 - $\frac{n}{6}$)°.
∵ OA=OC,∠AOC=($\frac{n}{3}$)°,
∴ ∠ACE=∠OAC=$\frac{1}{2}$(180° - ∠AOC)=$\frac{1}{2}$(180 - $\frac{n}{3}$)°=(90 - $\frac{n}{6}$)°.
∴ ∠ACE=∠AEC.
∴ AC=AE.同理,可得BF=BD.
∵ C、D是$\widehat{AB}$的三等分点,
∴ AC=CD=BD.
∴ AE=BF=CD.