《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

11.如图,在$\odot O$中,弦AD与弦BC垂直,垂足为G,E为AB的中点,延长EG交CD于点F.求证：$EF\perp CD$.

答案：
∵AD⊥BC，
∴∠AGB = ∠DGC = 90°.
∴∠A + ∠B = 90°.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴∠B = ∠D.
∴∠A + ∠D = 90°.
∵E为AB的中点，
∴EA = EG.
∴∠A = ∠AGE.又
∵∠AGE = ∠DGF，
∴∠A = ∠DGF.
∴∠DGF + ∠D = 90°.
∴∠DFG = 90°.
∴EF⊥CD.

12.★如图,在$\odot O$中,B是$\odot O$上一点,$\angle ABC= 120^{\circ}$,$AC= 2\sqrt{3}$,弦BM平分$\angle ABC$,交AC于点D,连接AM、MC.
(1)求$\odot O$的半径.
(2)试探究线段AB、BC、BM之间的等量关系,并给予证明.

答案：
（1）如图，连接OA、OC，过点O作OH⊥AC于点H.
∵∠ABC=120°，BM平分∠ABC，
∴∠MBA=∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°.
∵$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AM}$，$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴∠ACM=∠ABM=60°，∠MAC=∠MBC=60°.
∴∠AMC=60°.
∴△AMC是等边三角形，∠AOC=2∠AMC=120°.
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∵OH⊥AC，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$.
∵在Rt△AOH中，∠OAH=30°，
∴易得OA=2OH.
∴易得OH=1，OA=2.
∴⊙O的半径为2. （2）AB+BC=BM. 如图，在BM上截取BE=BC，连接CE.
∵∠MBC=60°，
∴△EBC是等边三角形.
∴BC=EC，∠BCE=60°.
∴∠BCA+∠DCE=60°.
∵∠ACM=60°，
∴∠ECM+∠DCE=60°.
∴∠BCA=∠ECM.
∵△AMC是等边三角形，
∴AC=MC. 在△ACB和△MCE中， $\left\{\begin{array}{l} BC=EC,\\ ∠BCA=∠ECM,\\ AC=MC, \end{array}\right.$
∴△ACB≌△MCE.
∴AB=ME.
∵ME+BE=BM，
∴AB+BC=BM. 

13.如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$经过点A(m,-3)和点B(-1,n),且圆心在x轴上,C是第一象限圆上的任意一点,且$\angle ACB= 45^{\circ}$,则点P的坐标是______(2,0).

答案：

（2，0）解析：连接PB、PA，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F.由点A、B的坐标，可得OE = 1，AF = 3.

∵∠ACB = 45°，

∴∠APB = 90°.

∴∠BPE + ∠FPA = 90°.

∵∠BPE + ∠EBP = 90°，

∴∠EBP = ∠FPA.

∵∠BEP = ∠PFA = 90°，BP = PA，

∴△BPE≌△PAF.

∴PE = AF = 3.设P（a，0），

∴a + 1 = 3.

∴a = 2.

∴P（2，0）.

14.如图①,AB为$\odot O$的直径,$CD\perp AB$于点E,$\overset{\frown}{CF}= \overset{\frown}{CB}$,BF与CD交于点G.
(1)求证：$CD= BF$.
(2)若$BE= 1$,$BF= 4$,求GE的长.
(3)如图②,连接GO、OF,求证：$2\angle EOG+\frac{1}{2}\angle AOF= 90^{\circ}$.

答案：
（1）
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∵$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CB}$，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CF}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BF}$.
∴CD = BF.（2）如图①，连接BC.由（1），得$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BD}$，CD = BF = 4，
∴∠FBC = ∠BCD.
∴BG = CG.
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴DE = CE = $\frac{1}{2}$CD = 2.设EG = x，则BG = CG = 2 - x.在△BEG中，EG² + BE² = BG²，即x² + 1² = （2 - x）²，解得x = $\frac{3}{4}$.
∴GE的长为$\frac{3}{4}$.（3）如图②，连接OC交BF于点I.
∵$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AF}$，
∴$\frac{1}{2}$∠AOF = ∠OBF.在△OCG和△OBG中，$\left\{\begin{array}{l}OC=OB,\\OG=OG,\\CG=BG,\end{array}\right.$
∴△OCG≌△OBG.
∴∠COG = ∠BOG.
∴∠IOB = 2∠EOG.
∵OF = OB，$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BC}$，
∴易得OC⊥BF.
∴∠OIB = 90°.
∵∠IOB + ∠IBO = 90°，
∴2∠EOG + $\frac{1}{2}$∠AOF = 90°.