《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. 如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若∠A= 84°,则∠D的度数为(B)
A.42°
B.66°
C.76°
D.82°

答案： B

2. (2023·聊城)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB、IA.若∠CAI= 35°,则∠OBC的度数为(C)

A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°

答案： C

3. (2024·苏州期末)如图,△ABC的周长是18 cm,⊙O是△ABC的内切圆,过点O作EF//AB,与AC、BC分别交于点E、F.已知AB= 6 cm,则△CEF的周长为12cm.

答案： 12

4. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,点E在AD的延长线上,∠CDE= 78°,则∠AIC的度数为129°.

答案： 129°

5. (2024·镇江一模)如图,等腰三角形ABC内接于⊙O,AB= AC,点I是△ABC的内心,连接BI并延长,交⊙O于点D,点E在BD的延长线上,满足∠EAD= ∠CAD.求证：
(1)OA所在的直线经过点I.
(2)D是IE的中点.

答案： （1）如图，连接OA、OB、OC、AI.
∵AB = AC，OB = OC，OA = OA，
∴△AOB≌△AOC.
∴∠BAO = ∠CAO.
∴AO平分∠BAC.
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC.
∴AO与AI在同一条直线上.
∴OA所在的直线经过点I.
（2）如图，连接OD，则OD = OA.
∴∠OAD = ∠ODA.
∴2∠OAD + ∠AOD = 180°.
∴∠OAD + $\frac{1}{2}$∠AOD = 90°.
∵∠ABD = $\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠OAD + ∠ABD = 90°.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABD = ∠CBD.
∴∠ABD = ∠CBD = ∠CAD = ∠EAD.
∴∠IAE = ∠OAD + ∠EAD = 90°.
∵∠DIA = ∠ABD + ∠BAO = ∠CAD + ∠CAO = ∠DAI，
∴ID = AD.
∵∠DIA + ∠E = 90°，∠DAI + ∠DAE = 90°，
∴∠E = ∠DAE.
∴ED = AD.
∴ID = ED.
∴D是IE的中点.

6. 新考向·数学文化(2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期伟大的数学家,我国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB、BC、CA的长分别为c、a、b,则可以用含c、a、b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式中,错误的是D

答案： D

7. 已知△ABC的外心为点O,内心为点I,∠BOC= 120°,则∠BIC的度数为(C)
A.120°
B.130°
C.120°或150°
D.130°或150°

答案： C 解析:如图①，当∠A是锐角时，
∵点O为△ABC的外心，∠BOC = 120°，
∴易得∠A = 60°.
∴∠ABC + ∠ACB = 120°.
∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC + ∠ICB = 60°.
∴∠BIC = 120°.如图②，当∠A是钝角时，
∵∠BOC = 120°，
∴易得∠A = 120°.
∴∠ABC + ∠ACB = 60°.
∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC + ∠ICB = 30°.
∴∠BIC = 150°.综上所述，∠BIC的度数为120°或150°.

8. 如图,点I为△ABC的内心,连接AI并延长,交△ABC的外接圆于点D,AI= 2CD,E为AC的中点,连接EI、IC.若IC= 6,ID= 5,则IE的长为______4.

答案： 4

9. (2024·无锡梁溪期末)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 5,BC= 12,AM= 1,点I为△ABC的内心,连接IM,则IM的长为______$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

10. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A、B、C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6)、(-3,3)、(7,-2),则△ABC内心的坐标为（2,3）.

答案： （2,3）