《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. 一元二次方程$x^2 + 2\sqrt{2}x - 6 = 0$的根是(C)
A.$x_1 = x_2 = \sqrt{2}$
B.$x_1 = 0, x_2 = -2\sqrt{2}$
C.$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -3\sqrt{2}$
D.$x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = 3\sqrt{2}$

答案： C

2. (2024·泰安)若关于x的一元二次方程$2x^2 - 3x + k = 0$有实数根,则实数k的取值范围是(B)
A.$k ＜ \frac{9}{8}$
B.$k \leq \frac{9}{8}$
C.$k \geq \frac{9}{8}$
D.$k ＜ -\frac{9}{8}$

答案： B

3. 已知a、b满足$|b - 2| + \sqrt{3a + 9} = 0$,则关于x的方程$(1 - a)x^2 + bx = 2 - 4a$的根是$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{57}}{4}$, $x_{2}=\frac{-1-\sqrt{57}}{4}$.

答案： $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{57}}{4}$, $x_{2}=\frac{-1-\sqrt{57}}{4}$

4. 若关于x的一元二次方程$x^2 + bx + 4 = 0$的两个根中较小的一个根是m(m≠0),则$b + \sqrt{b^2 - 16} = $$-2m$(用含m的代数式表示).

答案： $-2m$ 解析:
∵$x^{2}+bx+4=0$的两个根中较小的一个根是$m(m≠0)$,
∴$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-16}}{2}=m$.
∴$b+\sqrt{b^{2}-16}=-2m$.

5. 小明在解方程$x^2 - 5x = 1$时出现了错误,其解答过程如下：
解：∵a= 1,b= -5,c= 1(第一步),
∴$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×1 = 21$(第二步).
∴$x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$(第三步).
∴$x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$(第四步).
(1)小明的解答过程从第一步开始出错,其错误原因是原方程没有化成一般形式.
(2)写出此题正确的解答过程.
(2)把方程$x^{2}-5x=1$化为一般形式,得$x^{2}-5x-1=0$.
∵$a=1,b=-5,c=-1$,
∴$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=25+4=29＞0$.
∴$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$.
∴$x_{1}=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$.

答案：
(1)一;原方程没有化成一般形式.
(2)把方程$x^{2}-5x=1$化为一般形式,得$x^{2}-5x-1=0$.
∵$a=1,b=-5,c=-1$,
∴$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-1)=25+4=29＞0$.
∴$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$.
∴$x_{1}=\frac{5+\sqrt{29}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$.

6. (2024·广安)若关于x的一元二次方程$(m + 1)x^2 - 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(A)
A.$m ＜ 0且m \neq -1$
B.$m \geq 0$
C.$m \leq 0且m \neq -1$
D.$m ＜ 0$

答案： A 解析:
∵关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,
∴$\left\{\begin{array}{l} m+1≠0,\\ 4-4(m+1)＞0,\end{array}\right.$解得$m＜0$且$m≠-1$.

7. 已知方程甲：$ax^2 + 2bx + a = 0$,方程乙：$bx^2 + 2ax + b = 0$都是关于x的一元二次方程($a \neq b$).有下列说法：①若$x = 1$是方程甲的根,则$x = 1$也是方程乙的根；②若方程甲有两个相等的实数根,则方程乙也有两个相等的实数根；③若方程甲有两个不相等的实数根,则方程乙也有两个不相等的实数根；④若$x = n$既是方程甲的根,又是方程乙的根,则n可以取1或-1.其中,正确的是(A)
A.①②
B.③④
C.①②③④
D.①②④

答案： A 解析:若$x=1$是方程甲的根,则$a+2b+a=0$,即$a=-b$.
∴方程乙:$bx^{2}+2ax+b=0$变为$bx^{2}-2bx+b=0$,解得$x_{1}=x_{2}=1$.
∴$x=1$也是方程乙的根.
∴①正确.若方程甲有两个相等的实数根,则$(2b)^{2}-4a\cdot a=0$,即$4b^{2}=4a^{2}$.
∴$4a^{2}-4b^{2}=0$.
∴在方程乙:$bx^{2}+2ax+b=0$中,其根的判别式$(2a)^{2}-4b\cdot b=4a^{2}-4b^{2}=0$.
∴方程乙有两个相等的实数根.
∴②正确.若方程甲有两个不相等的实数根,则$(2b)^{2}-4a\cdot a＞0$,解得$4b^{2}＞4a^{2}$.
∴$4a^{2}-4b^{2}＜0$.
∴在方程乙:$bx^{2}+2ax+b=0$中,其根的判别式$(2a)^{2}-4b\cdot b=4a^{2}-4b^{2}＜0$.
∴方程乙没有实数根.
∴③不正确.若$x=n$既是方程甲的根,又是方程乙的根,则$\left\{\begin{array}{l} an^{2}+2bn+a=0①,\\ bn^{2}+2an+b=0②.\end{array}\right.$①-②,得$(a-b)n^{2}-2(a-b)n+(a-b)=0$.
∵$a≠b$,
∴$n^{2}-2n+1=0$,解得$n_{1}=n_{2}=1$.
∴④不正确.综上所述,正确的是①②.

8. 在平面直角坐标系中,若直线$y = 2x + a$不经过第二象限,则关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$的实数根的个数为(D)
A.0
B.0或1
C.2
D.1或2

答案： D 解析:
∵直线$y=2x+a$不经过第二象限,
∴$a≤0$.当$a＜0$时,
∵$2^{2}-4a=4-4a＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.当$a=0$时,原方程可化为$2x+1=0$,
∴实数根的个数为1.综上所述,关于x的方程$ax^{2}+2x+1=0$的实数根的个数为1或2.

9. 方程$x^2 - 3|x| + 2 = 0$的最小一个根的倒数是$-\frac{1}{2}$.

答案： $-\frac{1}{2}$ 解析:设$|x|=y$,此方程变形为$y^{2}-3y+2=0$,解得$y_{1}=2$,$y_{2}=1$.
∴$|x|=2$或$|x|=1$.
∴$x=±2$或$x=±1$.
∴最小的根为-2,它的倒数是$-\frac{1}{2}$.

10. 若关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - 2mx - 4m + 1 = 0$有两个相等的实数根,则$(m - 2)^2 - 2m(m - 1)$的值为$\frac{7}{2}$.

答案： $\frac{7}{2}$ 解析:由题意,可知$(-2m)^{2}-4×\frac{1}{2}×(-4m+1)=4m^{2}-2(-4m+1)=4m^{2}+8m-2=0$.
∴$m^{2}+2m=\frac{1}{2}$.
∴$(m-2)^{2}-2m(m-1)=-m^{2}-2m+4=-(m^{2}+2m)+4=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$.

11. 如图,将两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD拼在一起,连接AD,点B、E、C在同一条直线上,$AE \perp ED$.已知直角三角形的直角边长分别为m、n,斜边长为q,分别以m、$\sqrt{2}q$、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的关于x的一元二次方程$mx^2 + \sqrt{2}qx + n = 0$,称为勾股方程.

(1)请直接写出一个勾股方程.
(2)若勾股方程$mx^2 + \sqrt{2}qx + n = 0$有两个相等的实数根,求$\frac{m}{q}$的值.
(3)若$x = -1是勾股方程mx^2 + \sqrt{2}qx + n = 0$的一个根,且四边形ABCD的周长是6,求四边形ABCD的面积.

答案：
(1)答案不唯一,如$3x^{2}+5\sqrt{2}x+4=0$.
(2)
∵勾股方程$mx^{2}+\sqrt{2}qx+n=0$有两个相等的实数根,
∴$(\sqrt{2}q)^{2}-4mn=2q^{2}-4mn=0$.
∴$q^{2}=2mn$.
∵$q^{2}=m^{2}+n^{2}$,
∴$m^{2}+n^{2}=2mn$.
∴$(m-n)^{2}=0$,即$m-n=0$.
∴$m=n$.
∴$q=\sqrt{2}m$.
∴$\frac{m}{q}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)
∵$x=-1$是勾股方程$mx^{2}+\sqrt{2}qx+n=0$的一个根,
∴$m-\sqrt{2}q+n=0$.
∴$\sqrt{2}q=m+n$.
∵四边形ABCD的周长是6,
∴$2m+2n+\sqrt{2}q=6$.
∴$q=\sqrt{2}$.
∵$q^{2}=m^{2}+n^{2}$,
∴$m^{2}+n^{2}=2$,$m+n=2$.
∴易得$mn=1$.
∴四边形ABCD的面积$=2×\frac{1}{2}mn+\frac{1}{2}q^{2}=mn+\frac{1}{2}q^{2}=1+1=2$.