《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. 若关于 x 的方程$(x - 2)^2 = m + 1$有实数根,则 m 的取值范围是(D)
A.$m ＞ 1$
B.$m ＞ -1$
C.$m \geq 1$
D.$m \geq -1$

答案： D

2. 方程$(x + 6)^2 - 9 = 0$的两个根是(D)
A.$x_1 = 3, x_2 = 9$
B.$x_1 = -3, x_2 = 9$
C.$x_1 = 3, x_2 = -9$
D.$x_1 = -3, x_2 = -9$

答案： D

3. 如果关于 x 的一元二次方程$ax^2 = b(ab ＞ 0)的两个根分别是m - 1和2m + 4$,那么$\frac{b}{a}$的值为4.

答案： 4

4. 已知一元二次方程$(x - 2)^2 = 3$的两个根为 a 和 b,且$a ＞ b$,则$2a + b$的值为6+√3.

答案： 6+√3 解析:解$(x-2)^2=3,$得x1=2+√3,x2=2-√3.
∵方程$(x-2)^2=3$的两个根为a和b,且a＞b,
∴a=2+√3,b=2-√3.
∴2a+b=2×(2+√3)+2-√3=6+√3.

5. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^2 - 12 = 0$.
(2)$\frac{1}{2}x^2 - 2 = 6$.
(3)$(x - 2)^2 = 16$.
(4)$2(y + 4)^2 + 3 = 35$.

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-12 = 0$
解：
移项可得$x^{2}=12$，
根据直接开平方法$x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$，
所以$x_{1}=2\sqrt{3}$，$x_{2}=-2\sqrt{3}$。
$(2)$ 解方程$\frac{1}{2}x^{2}-2 = 6$
解：
移项得$\frac{1}{2}x^{2}=6 + 2$，
即$\frac{1}{2}x^{2}=8$，
两边同时乘以$2$得$x^{2}=16$，
根据直接开平方法$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$，
所以$x_{1}=4$，$x_{2}=-4$。
$(3)$ 解方程$(x - 2)^{2}=16$
解：
根据直接开平方法$x - 2=\pm\sqrt{16}=\pm4$，
当$x - 2 = 4$时，$x=4 + 2=6$；
当$x - 2=-4$时，$x=-4 + 2=-2$，
所以$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$。
$(4)$ 解方程$2(y + 4)^{2}+3 = 35$
解：
移项得$2(y + 4)^{2}=35 - 3$，
即$2(y + 4)^{2}=32$，
两边同时除以$2$得$(y + 4)^{2}=16$，
根据直接开平方法$y + 4=\pm\sqrt{16}=\pm4$，
当$y + 4 = 4$时，$y=4 - 4=0$；
当$y + 4=-4$时，$y=-4 - 4=-8$，
所以$y_{1}=0$，$y_{2}=-8$。
综上，答案依次为：$(1)x_{1}=2\sqrt{3}$，$x_{2}=-2\sqrt{3}$；$(2)x_{1}=4$，$x_{2}=-4$；$(3)x_{1}=6$，$x_{2}=-2$；$(4)y_{1}=0$，$y_{2}=-8$。

6. 若$(a^2 + b^2 - 3)^2 = 25$,则$a^2 + b^2$的值为(C)
A.8 或 -2
B.-2
C.8
D.2 或 -8

答案： C 解析:由$(a²+b²-3)^2=25,$得a²+b²-3=±5.
∴a²+b²=3±5,解得a²+b²=8或a²+b²=-2(不合题意,舍去).

7. 给出一种运算：对于函数$y = x^n$,规定$y' = nx^{n - 1}$.例如：若函数$y = x^5$,则有$y' = 5x^4$.已知函数$y = x^3$,则方程$y' = 54$的根是(D)
A.$x_1 = x_2 = 0$
B.$x_1 = 2\sqrt{3}, x_2 = -2\sqrt{3}$
C.$x_1 = 2, x_2 = -2$
D.$x_1 = 3\sqrt{2}, x_2 = -3\sqrt{2}$

答案： D 解析:由题意,知3x²=54,
∴x²=18.
∴x1=3√2,x2=-3√2.

8. 新考法·新定义题 定义运算：$a*b = ab - b$,例如：$1*2 = 1×2 - 2 = 0$,则方程$(2x + 1)*x = 8$的解为______x1=2,x2=-2.

答案： x1=2,x2=-2 解析:由题意,得(2x+1)*x=8可化为(2x+1)x-x=8,解得x=±2.
∴该方程的解为x1=2,x2=-2.

9. 对于实数 p、q,我们用符号$\min\{p, q\}$表示 p、q 两数中较小的数,如$\min\{1, 2\} = 1$.若$\min\{(x - 1)^2, x^2\} = 1$,则$x = $2或-1.

答案： 2或-1 解析:
∵$min{(x-1)^2,x²}=1,$
∴当$(x-1)^2=1$时,解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去);当x²=1时,解得x3=-1,x4=1(不合题意,舍去).

10. 用直接开平方法解一元二次方程$4(2x - 1)^2 - 25(x + 1)^2 = 0$.
小明的解答如下：移项,得$4(2x - 1)^2 = 25(x + 1)^2$①.
直接开平方,得$2(2x - 1) = 5(x + 1)$②.
$\therefore x = -7$③.
小明的解答有无错误？若有,错在第②步,原因是直接开平方法求的是平方根而不是算术平方根,写出正确的解答过程.
移项,得$4(2x-1)^2=25(x+1)^2$.直接开平方,得$2(2x-1)=\pm5(x+1)$.
$\therefore x_1=-7,x_2=-\dfrac{1}{3}$.

答案： 小明的解答有错误.
②;直接开平方法求的是平方根而不是算术平方根.
移项,得$4(2x-1)^2=25(x+1)^2.$直接开平方,得2(2x-1)=±5(x+1).
∴x1=-7,x2=-1/3.