《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

10. 如图,D 是△ABC 的边 BC 的中点,过 AD 的延长线上的点 E 作 AD 的垂线 EF,E 为垂足,EF 与 AB 的延长线相交于点 F,点 O 在 AD 上,AO= CO,BC//EF. 求证：
(1)AB= AC.
(2)点 O 是△ABC 的外接圆的圆心.

答案： （1）
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD = CD.
∵ BC//EF,AD⊥EF,
∴ AD⊥BC.
∴ AB = AC.
（2）连接 BO.
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD = CD.
∵ AD⊥BC,
∴ BO = CO.
∵ AO = CO,
∴ AO = BO = CO.
∴点 O 是△ABC 的外接圆的圆心.

11. ★如图,在等腰三角形 ABC 中,AB= AC= 13 cm,BC= 10 cm,求等腰三角形 ABC 外接圆的半径. 答案讲解

答案： 设点 O 为等腰三角形 ABC 外接圆的圆心,连接 AO 并延长,交 BC 于点 D,连接 OB、OC.
∵ AB = AC,OB = OC,
∴点 A、O 都在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ AD⊥BC,$BD = CD = \frac{1}{2}BC = 5cm$.设等腰三角形 ABC 外接圆的半径为 R cm,则 OA = OB = OC = R cm.在 Rt△ABD 中,由勾股定理,得$AD = \sqrt{AB^{2}-BD^{2}} = 12cm$.
∴ OD = AD - OA = (12 - R)cm.在 Rt△OBD 中,由勾股定理,得$OB^{2} = OD^{2} + BD^{2}$,即$R^{2} = (12 - R)^{2} + 5^{2}$,解得$R = \frac{169}{24}$.
∴等腰三角形 ABC 外接圆的半径为$\frac{169}{24}cm$.

12. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AD⊥BC 于点 D,△ABC、△ABD、△ACD 的外接圆半径分别为 R、R_1、R_2,则有
$ ( D ) A. R= R_1+R_2 B. R= \frac{R_1+R_2}{2} C. R^2= R_1R_2 D. R^2= R_1^2+R_2^2 $

答案： D 解析:
∵∠BAC = 90°,AD⊥BC.$\therefore R = \frac{1}{2}BC,R_{1} = \frac{1}{2}AB,R_{2} = \frac{1}{2}AC$.
∵$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2},\therefore R^{2} = R_{1}^{2} + R_{2}^{2}.$

13. 在△ABC 和△ADE 中,AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE= 50°,连接 BD 和 CE,将△ADE 绕点 A 旋转(△ADE 始终在 AB 所在直线的右侧).
(1)如图①,在△ADE 绕点 A 旋转的过程中,当 AE//BC 时,求∠DAC 的度数.
(2)如图②,当点 D 恰好是△ABC 的外心时,连接 DC,试判断四边形 ADCE 的形状,并说明理由.

答案： （1）
∵ AB = AC,∠BAC = 50°,
∴$∠ABC = \frac{1}{2}(180^{\circ}-∠BAC) = 65^{\circ}$.
∵ AE//BC,
∴∠BAE = 180° - ∠ABC = 115°.
∴∠DAC = ∠BAE - ∠BAC - ∠DAE = 15°.
（2）四边形 ADCE 为菱形.理由:
∵点 D 为△ABC 的外心,
∴ AD = BD = CD.
∵∠BAC = ∠DAE,
∴∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即∠BAD = ∠CAE.在△BAD 和△CAE 中,$\begin{cases}BA = CA\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$,
∴△BAD≌△CAE.
∴ BD = CE.又
∵ AD = AE,
∴ AD = AE = CD = CE.
∴四边形 ADCE 为菱形.