《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. 如图,在$\odot O$中,AB 是$\odot O$的直径,$\angle DAC= 20^{\circ}$,$CD= CB$,则$\angle ADC$的度数为 (B)

A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： B

2. (2023·赤峰)如图,在$\odot O$的内接四边形ABCD 中,$\angle BCD= 105^{\circ}$,连接 OB、OC、OD、BD,$\angle BOC= 2\angle COD$,则$\angle CBD$的度数是 (A)

A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： A

3. 如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,$\angle BCD= 100^{\circ}$,AC 平分$\angle BAD$,则$\angle BDC$的度数为 ______°.

40

答案： 40

4. 若四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,且$\angle A:\angle B:\angle C= 2:1:4$,则$\angle D$的度数为150°.

答案： 150

5. 如图,在圆内接四边形 ABDC 中,$\angle BAC= 60^{\circ}$,$AB= AC$.求证:$AD= BD+CD$.

答案：
如图,延长DB至点E,使得BE=CD,连接AE.
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠ABD+∠C=180°.
又
∵∠ABE+∠ABD=180°,
∴∠ABE=∠C.
在△ABE和△ACD中,
AB=AC,
∠ABE=∠C,
BE=CD,
∴△ABE≌△ACD.
∴∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠BAC.
∵∠BAC=60°,
∴∠EAD=60°.
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=DE=BD+BE.
∴AD=BD+CD.
　　　

6. (2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD 的两组对边,延长线相交于点 E、F.若$\angle E= 54^{\circ}41'$,$\angle F= 43^{\circ}19'$,则$\angle A$的度数为 (C)

A.$42^{\circ}$
B.$41^{\circ}20'$
C.$41^{\circ}$
D.$40^{\circ}20'$

答案： C

7. 如图,AB 为$\odot O$的直径,C 为$\overset{\frown}{ADB}$上一点,AD$//$OC,AD 交$\odot O$于点 D,连接 AC、CD.设$\angle BOC= x^{\circ}$,$\angle ACD= y^{\circ}$,则下列结论中,成立的是 (A)

A.$x+y= 90$
B.$2x+y= 90$
C.$2x+y= 180$
D.$x= y$

答案： A

8. 如图,AB 为$\odot O$的直径,C 为$\odot O$上一点,将$\overset{\frown}{AC}$沿弦 AC 翻折,交AB 于点 D,连接 CD.若点 D 与圆心 O 不重合,$\angle BAC= 23^{\circ}$,则$\angle DCA$的度数为 ______.答案讲解

答案：
44°　　解析:如图,连接BC.
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=23°,
∴∠ABC=90°−∠BAC=90°−23°=67°.由翻折的性质，得$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为∠B，$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆周角为∠ADC,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠ADC+∠CDB=180°,
∴∠ABC = ∠CDB = 67°.
∴∠DCA=∠CDB−∠BAC=67°−23°=44°.
　　　　

9. 如图,四边形 ABCD 是菱形,$\odot O$经过点 A、C、D,与 BC 相交于点 E,连接 AC、AE.若$\angle EAC= 15^{\circ}$,则$\angle B$的度数为 ______.

70°

答案： 70°　解析:设∠B=x°.
∵四边形ABCD　是菱形，
∴　∠ACE = $\frac{1}{2}$∠DCB=$\frac{1}{2}$(180°−∠B)=90°−$\frac{1}{2}$x°,∠D=∠B=x°.
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴易得∠AEB=∠D=x°.
∴∠EAC=∠AEB−∠ACE=x°−(90°−$\frac{1}{2}$x°)=15°,解得x=70.

10. 如图,四边形 ADBC 内接于$\odot O$,AB 是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CD}$,CE$\perp$DB 交 DB 的延长线于点 E.
(1)求证:BC 平分$\angle ABE$.
(2)若 CH$\perp$AB 于点 H,求证:AH= DE.

答案：
(1)
∵四边形ADBC内接于⊙O,
∴∠CBD+∠CAD=180°.
∵∠CBE+∠CBD=180°,
∴∠CBE=∠CAD.
∵ $\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠CBH=∠CAD,
∴∠CBH=∠CBE.
∴BC平分∠ABE.
(2)连接CD.
∵CH⊥AB,CE⊥DB,
∴∠AHC=∠E=90°.
∵ $\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴AC=CD.
在△ACH和△DCE中,
∠AHC=∠E,
∠CAH=∠CDE,
AC=DC,
∴△ACH≌△DCE.
∴AH=DE.