《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. 已知$\odot O的半径是5\ cm$,弦$AB// CD$,$AB= 6\ cm$,$CD= 8\ cm$,则$AB与CD$的距离是(C)
A.$1\ cm$
B.$7\ cm$
C.$1\ cm或7\ cm$
D.$1\ cm或8\ cm$

答案： C

2. (2024·西安一模)如图,在$\odot O$内,以弦$AB为边作等边三角形ABE$,$AE$、$BE的延长线分别交\odot O于C$、$D$两点,过$O作OF\perp BD于点F$,延长$FO交AC于点G$.若$DE= 4$,$EG= 6$,则$AB$的长为(C)

A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$12$

答案： C

3. 如图,$\odot O经过菱形ABCO的顶点A$、$B$、$C$.若$OP\perp AB交\odot O于点P$,则$\angle PAB$的度数为15°。

答案： 15

4. 如图,以点$P为圆心的圆弧与x轴交于A$、$B$两点,点$P的坐标为(4,2)$,点$A的坐标为(2,0)$,则点$B$的坐标为______。

(6,0)

答案： (6,0)

5. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{AC}$,$AD\perp OC于点D$.
(1)求证:$AB= 2AD$.
(2)若$AB= 8$,$CD= 2$,求$\odot O的半径及OD$的长.

答案：
(1) 如图,延长 AD 交⊙O 于点 E.
∵ OC⊥AD,
∴ $\widehat{AE}=2\widehat{AC}$,$AE=2AD$.
∵ $\widehat{AB}=2\widehat{AC}$,
∴ $\widehat{AE}=\widehat{AB}$.
∴ AB=AE.
∴ AB=2AD.
(2) 如图,连接 OA,设⊙O 的半径为 x,则 OA=x,OD=x - 2.
∵ AB=2AD,AB=8,
∴ AD=4.
在 Rt△OAD 中,根据勾股定理,得 $OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}$,即 $x^{2}=(x - 2)^{2}+4^{2}$,解得 x=5,
∴ OD=5 - 2=3.
∴ ⊙O 的半径及 OD 的长分别为 5 和 3.

6. $P是\odot O$内一点,过点$P的最长弦的长为10\ cm$,最短弦的长为$6\ cm$,则$OP$的长为(B)
A.$3\ cm$
B.$4\ cm$
C.$5\ cm$
D.$6\ cm$

答案： B

7. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot A的直径在x$轴上,且直径的右端与原点$O$重合,平行于$x轴的直线交\odot A于M$、$N$两点.若点$M的坐标是(-4,-2)$,则点$N$的坐标为(B)
A.$(1,-2)$
B.$(-1,-2)$
C.$(-1.5,-2)$
D.$(1.5,-2)$

答案： B

8. 如图,$\odot O的半径为5$,弦$AB= 6$,点$C在弦AB$上,延长$CO交\odot O于点D$,则$CD$长的取值范围是(D)
A.$6\leqslant CD\leqslant8$
B.$8\leqslant CD\leqslant10$
C.$9＜CD＜10$
D.$9\leqslant CD\leqslant10$

答案： D 解析:如图,过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,则 $BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$.
∵ ⊙O 的半径为 5,
∴ OB=5.
∴ $OH=\sqrt{OB^{2}-BH^{2}}=4$.当点 C 和点 H 重合时,OC 长取得最小值,是 4,
∴ CD 长的最小值是 4 + 5=9.当 CD 是⊙O 的直径时,CD 长取得最大值,是 5×2=10.
∴ CD 长的取值范围是 9≤CD≤10.

9. 新考法·项目式学习 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和一把刻度尺,来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图,将纸条拉直并紧贴杯底,纸条的上下边沿分别与杯底相交于$A$、$B$、$C$、$D$四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为$3.5\ cm$,$AB= 4\ cm$,$CD= 3\ cm$.经计算,纸杯杯底的直径为______$cm$.

5

答案： 5 解析:如图,设纸杯杯底圆的圆心为点 O,过点 O 作 MN⊥AB,分别交 CD、AB 于点 M、N,连接 OD、OB,则易得 MN=3.5 cm.
∵ CD//AB,纸条的宽为 3.5 cm,AB=4 cm,CD=3 cm,
∴ MN⊥CD.
∴ $DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×3=1.5$(cm),$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$(cm).设 OM=x cm,
∴ ON=MN - OM=(3.5 - x)cm.
∵ $OM^{2}+MD^{2}=OD^{2}$,$ON^{2}+BN^{2}=OB^{2}$,OB=OD,
∴ $OM^{2}+MD^{2}=ON^{2}+BN^{2}$.
∴ $x^{2}+1.5^{2}=(3.5 - x)^{2}+2^{2}$.
∴ x=2.
∴ OM=2 cm.
∴ $OD=\sqrt{OM^{2}+MD^{2}}=\sqrt{2^{2}+1.5^{2}}=2.5$(cm).
∴ 纸杯杯底的直径为 2.5×2=5(cm).

10. 如图,$AB为\odot O$的直径,$AE为\odot O$的弦,$C为\overset{\frown}{ABE}$的中点,$CD\perp AB$,垂足为$D$.若$AE= 8$,$DB= 2$,则$\odot O$的半径为______5.

答案： 5 解析:如图,连接 CO 并延长,交 AE 于点 T.设⊙O 的半径为 r.
∵ C 为$\widehat{ABE}$的中点,
∴ $\widehat{AC}=\widehat{CE}$.
∴ CT⊥AE.
∴ $AT=TE=\frac{1}{2}AE=4$,$\angle ATO=90^{\circ}$.
∵ CD⊥AB,
∴ $\angle ATO=\angle CDO=90^{\circ}$.又
∵ $\angle AOT=\angle COD$,AO=CO,
∴ △AOT≌△COD.
∴ AT=CD=4.在 Rt△COD 中,$OC^{2}=CD^{2}+OD^{2}$,
∴ $r^{2}=4^{2}+(r - 2)^{2}$.
∴ r=5.
∴ ⊙O 的半径为 5.