《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. 如图,AB 是⊙O的直径,C 是⊙O上一点,D是⊙O外一点,过点 A 作 AE⊥CD,垂足为E,连接 AC、OC.若要使 CD 切⊙O于点 C,下列条件中,添加后不正确的是(D)

A.OC//AE
B.∠OAC= ∠CAE
C.∠OCA= ∠CAE
D.OA= AC

答案： D

2. 如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆 O 上(不与点 A、B 重合),DE⊥AB 于点 D,交BC 于点 F,连接 CE.下列条件中,能判定CE 是切线的为(C)
A.∠E= ∠CFE
B.∠E= ∠ECF
C.∠ECF= ∠EFC
D.∠ECF= 60°

答案： C

3. 如图,AB 是⊙O的直径,点 C 在⊙O上,要使得直线 AT 是⊙O的切线,需要添加的一个条件是∠TAC=∠B(写出一个即可).

答案： 答案不唯一,如∠TAC=∠B

4. 如图,在△ABC 中,AB= AC,D 为边 BC 的中点,过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,⊙O经过 A、B、D 三点,则 DE 与⊙O的位置关系是相切.

答案： 相切

5. 如图,⊙O的半径为 2,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠C= 60°,AB= AD,连接 OB、OD,延长 OD 至点 M,使得 DM= OD,连接 AM.
(1)求证:四边形 ABOD 为菱形.
(2)试判断 AM 与⊙O的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)连接OA.
∵∠C=60°,
∴∠BOD=120°.又
∵AB=AD,
∴∠AOB=∠AOD=60°.又
∵OA=OD,
∴△AOD为等边三角形.
∴AD=OD.
∵AB=AD,OB=OD,
∴AB=AD=OB=OD.
∴四边形ABOD为菱形.
(2)AM与⊙O相切.理由:
∵△AOD为等边三角形,
∴∠ADO=∠OAD=60°.
∴∠ADM=120°.又
∵OD=DM,OD=AD,
∴DM=AD.
∴∠DAM=30°.
∴∠OAM=90°.又
∵OA为⊙O的半径，
∴AM与⊙O相切.

6. 如图,在矩形 ABCD 中,G 是 BC 的中点,过 A、D、G 三点的⊙O与边 AB、CD 分别交于点 E、F.有下列说法:① AC 与 BD 的交点是⊙O的圆心;② AF 与 DE 的交点是⊙O的圆心;③ BC与⊙O相切.其中,说法正确的个数是( )

A.0

B.1
C.2
D.3
答案讲解

答案：
C　解析:如图,连接DG、AG、EF,过点G作GH⊥AD于点H,连接OD.
∵G是BC的中点，
∴易得AG=DG.
∴GH垂直平分AD.
∴点O在HG上.
∵AD//BC,
∴HG⊥BC.
∵OG是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切.
∵OG=OD,
∴O不是HG的中点.
∴圆心O不是AC与BD的交点.
∵∠ADF=∠DAE=90°,
∴∠AEF=90°.
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形.
∴AF与DE的交点是⊙O的圆心.
∴①错误,②③正确

7. 如图,在平面直角坐标系中,过格点 A、B、C作一圆弧,下列格点中,与点 B 的连线能够与该圆弧相切的是( )

A.点(0,3)
B.点(1,3)
C.点(6,0)
D.点(6,1)

答案：
B　解析:如图,
∵过格点A、B、C作一圆弧,
∴易得三点所在的圆的圆心为O'(2,0).只有O'B⊥EF时,BF与圆相切,此时E(1,3),F(5,1).
∴选项所给的格点中，与点B的连线能够与该圆弧相切的是点(1,3).

8. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠ABC= 60°,在边 AC 上取点 O 画圆,使⊙O经过 A、B 两点,延长 BC 交⊙O于点 D.有下列结论:① OA= BC;② OA= 2OC;③ A、B、D 是⊙O的三等分点;④ 以点 O 为圆心、OC 长为半径的圆与AB 相切.其中,正确的是______(填序号).
答案讲解

答案：
②③④　解析:如图,连接OB.
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠ABO.
∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°.
∴∠ABO=30°,
∴∠OBC=30°.
∴易得BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB,即BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA.
∴①错误.
∵∠OBC=30°,∠ACB=90°,
∴易得OC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OA,即OA=2OC.
∴②正确.如图，连接AD.
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BD.
∴易得AD=AB.
∵∠ABC=60°,
∴△ABD为等边三角形.
∴AD=AB=BD.
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$=$\widehat{BD}$.
∴A、B、D是⊙O的三等分点.
∴③正确.
∵∠ABO=∠OBC=30°,
∴点O在∠ABC的平分线上.
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，即以点O为圆心、OC长为半径的圆与AB相切.
∴④正确.综上所述，正确的是②③④.