《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

1. (2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$,其中m、n满足$m - 2n = 3$,关于该方程根的情况,下列判断中正确的是(C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C

2. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx + 2n = 0$,其中m、n是常数.
(1)若$m = n + 3$,试判断该一元二次方程根的情况.
(2)若该一元二次方程有两个相等的实数根,请写出一组m、n的值,并求此时方程的根.

答案： （1）$b^{2}-4ac=m^{2}-4×2n=m^{2}-8n$，
∵$m=n+3$，
∴$b^{2}-4ac=(n+3)^{2}-8n=n^{2}-2n+9=(n-1)^{2}+8＞0$．
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）根据题意，得$b^{2}-4ac=m^{2}-8n=0$，
∴$m^{2}=8n$．
令$n=0$，则$m=0$（m、n的取值不唯一），
此时方程变形为$x^{2}=0$，
∴$x_{1}=x_{2}=0$．

3. (2024·宿迁)规定：对于任意实数a、b、c,有【a,b】★c = ac + b,其中等式右边是常规的乘法和加法运算,如【2,3】★1 = 2×1 + 3 = 5. 若关于x的方程【x,x + 1】★(mx)= 0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(D)
A.$m ＜ \frac{1}{4}$
B.$m ＞ \frac{1}{4}$
C.$m ＞ \frac{1}{4}且m \neq 0$
D.$m ＜ \frac{1}{4}且m \neq 0$

答案： D 解析：根据题意，得$x×mx+x+1=0$，整理，得$mx^{2}+x+1=0$．
∵关于x的方程【x，$x+1$】★（mx）=0有两个不相等的实数根，
∴$b^{2}-4ac=1^{2}-4m·1＞0$且$m≠0$，解得$m＜\frac {1}{4}$且$m≠0$．

4. 若方程$x^2 + 3x + 1 = 0$的两个根为α、β,则$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$的值为______3.答案讲解

答案： 3 解析：
∵方程$x^{2}+3x+1=0$的两个根为α、β，
∴$α+β=-3$，$αβ=1$．
∴$(α+β)^{2}=9$，即$α^{2}+2αβ+β^{2}=9$．
∴$\frac {α^{2}+2αβ+β^{2}}{αβ}=9$，即$\frac {α}{β}+2+\frac {β}{α}=9$．
∵$αβ＞0$，
∴$\frac {α}{β}＞0$，$\frac {β}{α}＞0$．
∴$(\sqrt {\frac {α}{β}})^{2}+2\sqrt {\frac {α}{β}}·\sqrt {\frac {β}{α}}+(\sqrt {\frac {β}{α}})^{2}=9$．
∴$(\sqrt {\frac {α}{β}}+\sqrt {\frac {β}{α}})^{2}=9$．
∴$\sqrt {\frac {α}{β}}+\sqrt {\frac {β}{α}}=3$．

5. 已知关于x的一元二次方程$mx^2 + 2(m + 1)x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 = 8$,求m的值.

答案： （1）
∵关于x的一元二次方程$mx^{2}+2(m+1)x+m-1=0$有两个不相等的实数根，
∴$b^{2}-4ac=[2(m+1)]^{2}-4m(m-1)＞0$，解得$m＞-\frac {1}{3}$．
又
∵$m≠0$，
∴m的取值范围是$m＞-\frac {1}{3}$且$m≠0$．
（2）
∵该方程的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac {2m+2}{m}$，$x_{1}x_{2}=\frac {m-1}{m}$．
又
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=8$，
∴$(-\frac {2m+2}{m})^{2}-2×\frac {m-1}{m}=8$，解得$m_{1}=2$，$m_{2}=-\frac {1}{3}$．
经检验，$m_{1}=2$，$m_{2}=-\frac {1}{3}$是原分式方程的解．
又
∵$m＞-\frac {1}{3}$且$m≠0$，
∴$m=2$．