《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

10. 已知关于$x的一元二次方程(a + 2)x^2 + 3x + a^2 - 4 = 0$。
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值。
(2)当$a = 1$时,用配方法解方程。

答案：
(1)把$x=0$代入方程,得$a^{2}-4=0$,解得$a_{1}=2$,$a_{2}=-2$.由题意,得$a+2≠0$.
∴$a≠-2$.
∴$a=2$.
(2)把$a=1$代入方程,得$3x^{2}+3x-3=0$,即$x^{2}+x=1$.配方,得$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$,即$(x+\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{4}$,解得$x_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

11. *配方法不仅可以用来解一元二次方程,还可以解决很多其他问题,例如：∵$3a^2 \geq 0$,∴$3a^2 + 1 \geq 1$,即$3a^2 + 1$有最小值1,此时$a = 0$。同样,∵$-3(a + 1)^2 \leq 0$,∴$-3(a + 1)^2 + 6 \leq 6$,即$-3(a + 1)^2 + 6$有最大值6,此时$a = -1$。
(1)当$x = $1时,代数式$2(x - 1)^2 + 3$有最小值,为3。
(2)当$x = $2时,代数式$-x^2 + 4x + 3$有最大值,为7。
(3)如图,矩形花园的一面靠墙(墙足够长),另外三面的栅栏总长为20 m,当花园垂直于墙的边的长为多少时,花园的面积最大？最大面积是多少？

设花园垂直于墙的边的长为$x$m,则平行于墙的边的长为$(20-2x)$m.
∵$x(20-2x)=-2x^{2}+20x=-2(x^{2}-10x+25)+50=-2(x-5)^{2}+50$,
∴花园的面积为$[-2(x-5)^{2}+50]m^{2}$.
∵$-2(x-5)^{2}≤0$,
∴$-2(x-5)^{2}+50≤50$,即$-2(x-5)^{2}+50$有最大值50,此时$x=5$.
∴当花园垂直于墙的边的长为5m时,花园的面积最大,最大面积是$50m^{2}$.

答案：
(1)1;小;3.
(2)2;大;7.
(3)设花园垂直于墙的边的长为$x$m,则平行于墙的边的长为$(20-2x)$m.
∵$x(20-2x)=-2x^{2}+20x=-2(x^{2}-10x+25)+50=-2(x-5)^{2}+50$,
∴花园的面积为$[-2(x-5)^{2}+50]m^{2}$.
∵$-2(x-5)^{2}≤0$,
∴$-2(x-5)^{2}+50≤50$,即$-2(x-5)^{2}+50$有最大值50,此时$x=5$.
∴当花园垂直于墙的边的长为5m时,花园的面积最大,最大面积是$50m^{2}$.

12. (2024·靖江段考)已知$a = m^2 + mn + n^2$,$b = mn - n^2$,$c = 5mn - 4m^2 - 3n^2$($m$、$n$为常数且均不为0),比较$a$、$b$、$c$的大小：$a＞b＞c$(用“＞”连接)。

答案： $a＞b＞c$

13. 已知实数$a$、$b满足(a^2 + 4a + 6) \cdot (2b^2 - 4b + 7) \leq 10$,则$a + 2b = $______0。答案讲解

答案： 0

14. 已知关于$x的方程(a^2 + b^2)x^2 - 2b(a + c)x + b^2 + c^2 = 0$,其中$a$、$b$、$c$、$x$都是实数,且$a$、$b$均不为0。求证：$\frac{c}{b} = \frac{b}{a} = x$。答案讲解

答案： 将原方程拆成两个二次三项式组成的方程,得$(a^{2}x^{2}-2abx+b^{2})+(b^{2}x^{2}-2bcx+c^{2})=0$.
∴$(ax-b)^{2}+(bx-c)^{2}=0$.又
∵$a$、$b$、$c$、$x$都是实数,即$(ax-b)^{2}≥0$,$(bx-c)^{2}≥0$,
∴$ax-b=0$,$bx-c=0$.又
∵$a$、$b$均不为0,
∴易得$\frac{c}{b}=\frac{b}{a}=x$.