《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

9. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 是⊙O的直径,CO 平分∠BCD,CE⊥AD,交 AD的延长线于点 E.
(1)试判断直线 CE 与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若 CE= 3,AD= 2,求直径 AB.

答案：
(1)直线CE与⊙O相切.理由:连接OD、BD.
∵CO平分∠BCD,
∴∠DCO=∠BCO.
∵OD=OC=OB,
∴∠ODC=∠OCD=∠OCB=∠OBC.
∴△OCD≌△OCB.
∴CD=CB.
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$.
∴易得OC⊥BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AE.
∵AE⊥CE,
∴BD//CE.
∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切.
(2)设OC、BD交于点F.
∵∠DFC=∠FCE=∠E=90°,
∴四边形CEDF是矩形,
∴DF=CE=3.
∴BD=2DF=6.
∵AD=2,
∴AB=$\sqrt{AD^2+BD^2}$=$\sqrt{2^2+6^2}$=2$\sqrt{10}$.

10. ★如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB= AC,延长 CD 至点 E,使 CE= BD,连接 AE.
(1)求证:DA 平分∠BDE.
(2)若 AB//CD,求证:AE 是⊙O的切线.

答案：
(1)
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ADB=∠ADE.
∴DA平分∠BDE.
(2)连接OB、OC、OA.
∵AB//CD,
∴∠BAD=∠ADE.由
(1),知∠ADB=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADB.
∴AB=BD.
∵CE=BD,
∴AB=CE.
∴四边形ABCE是平行四边形.
∴BC//AE.
∵OB=OC,
∴点O在线段BC的垂直平分线上.
∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∴OA垂直平分BC.
∴OA⊥AE.
∵OA为⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线.

11. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,且 AB= AC,连接 BO 并延长交⊙O于点 D,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,点 F 在 BD 的延长线上,连接 AF,使∠FAE= 2∠ABD,连接 OA、OC.
(1)试判断直线 AF 与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若 DE= 1,BC= 4,求⊙O的半径.
答案讲解

答案：

(1)直线AF与⊙O相切.理由:
∵∠FAE=2∠ABD,∠FOA=2∠ABD,
∴∠FAE=∠FOA.
∵AE⊥BD,
∴∠AEO=90°.
∴∠FOA+∠EAO=90°.
∴∠FAE+∠EAO=90°,即∠FAO=90°.
∴OA⊥FA.
∵OA为⊙O的半径，
∴直线AF与⊙O相切.
(2)如图，延长AE交⊙O于点H，连接BH.
∵BD为⊙O的直径，AE⊥BD,
∴BD为AH的垂直平分线.
∴BA=BH.
∵AB=AC,
∴BH=AC.
∴$\widehat{BH}$=$\widehat{AC}$.
∴易得$\widehat{AH}$=$\widehat{BC}$.
∴AH=BC=4.
∴AE=$\frac{1}{2}$AH=2.设⊙O的半径为r,则OE=OD-DE=r-1,在Rt△OAE中，AE²+OE²=OA²,
∴2²+(r-1)²=r²,解得r=2.5.
∴⊙O的半径为2.5.