《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

13. 整体思想(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1)求证：无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$,求m的值.

答案：
(1)$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$,这里$a=1,b=-(m+2),c=m-1,$$\therefore b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8.\because m^{2}≥0,\therefore m^{2}+8＞0$,即$b^{2}-4ac＞0$.
∴ 无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2) 由题意，得$x_{1}+x_{2}=m+2,x_{1}x_{2}=m-1.\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9,\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$,整理，得$m^{2}+m-2=0.\therefore (m+2)(m-1)=0$,解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$.
∴ m 的值为-2 或 1.

14. 若m、n是一元二次方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根,则$\frac{m^3 + m^2n}{3m - 1}$的值为3.答案讲解

答案： 3 解析：
∵ m、n 是一元二次方程$x^{2}+3x-1=0$的两个实数根，$\therefore m^{2}+3m-1=0,m+n=-3.\therefore 3m-1=-m^{2}.\therefore \frac {m^{3}+m^{2}n}{3m-1}=\frac {m^{2}(m+n)}{3m-1}=\frac {-3m^{2}}{-m^{2}}=3.$

15. 在关于x的分式方程$\frac{k - 1}{x - 1} = 2$①和一元二次方程$(2 - k)x^2 + 3mx + (3 - k)n = 0$②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围.
(2)若方程②有两个实数根$x_1$、$x_2$,且满足$x_1(x_1 - k) + x_2(x_2 - k) = (x_1 - k)(x_2 - k)$,当k为负整数时,试判断$m^2 \leq 4$是否成立,并说明理由.答案讲解

答案：
(1)
∵ 关于 x 的分式方程$\frac {k-1}{x-1}=2$的根为非负数，$\therefore x≥0$,且$x≠1$.解这个分式方程，得$x=\frac {k+1}{2}.\therefore \frac {k+1}{2}≥0$,且$\frac {k+1}{2}≠1$,解得$k≥-1$,且$k≠1$.又
∵$(2-k)x^{2}+3mx+(3-k)n=0$为一元二次方程，$\therefore 2-k≠0.\therefore k≠2$.综上所述，$k≥-1$,且$k≠1,k≠2.$
(2) 成立.理由：由
(1),知$k≥-1$,且$k≠1,k≠2$.
∵ k 为负整数，$\therefore k=-1$.
∴ 原一元二次方程可化为$3x^{2}+3mx+4n=0.\therefore x_{1}+x_{2}=-m,x_{1}x_{2}=\frac {4}{3}n.\because x_{1}(x_{1}-k)+x_{2}(x_{2}-k)=(x_{1}-k)(x_{2}-k)$,即$x_{1}(x_{1}+1)+x_{2}(x_{2}+1)=(x_{1}+1)(x_{2}+1),\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(x_{1}+x_{2})=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1$,即$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=1.\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=1.\therefore (-m)^{2}-3×\frac {4}{3}n=1$,即$m^{2}-4n=1.\therefore n=\frac {m^{2}-1}{4}$③.又$\because b^{2}-4ac=(3m)^{2}-4×3×4n=9m^{2}-48n≥0$④，
∴ 把③代入④，得$9m^{2}-48×\frac {m^{2}-1}{4}≥0$.整理，得$m^{2}≤4.$