《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

[变式] 已知关于x的方程$x^2-(k+1)x+k= 0$.
(1)求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实根.
(2)若等腰三角形ABC的一腰长$p= 4$,另两边长q、r恰好是这个方程的两根,求$\triangle ABC$的周长.

答案： （1）$\because b^{2}-4ac=[-(k+1)]^{2}-4k=k^{2}+2k+1-4k=(k-1)^{2}≥0,$
∴无论k取什么实数值,这个方程总有实根.
（2）
∵等腰三角形ABC的一腰长$p=4,$
∴另两边长q、r中必有一个数为4.把$x=4$代入关于x的方程$x^{2}-(k+1)x+k=0$中,得$16-4(k+1)+k=0$,解得$k=4.$$\therefore b+c=k+1=5.$
∴△ABC的周长为$4+5=9.$

1. 关于x的方程$x^2-2mx+m^2-4= 0的两个根x_1$、$x_2满足x_1= 2x_2+3$,且$x_1＞x_2$,则m的值为(C)
A.-3
B.1
C.3
D.9

答案： C 解析:$\because x^{2}-2mx+m^{2}-4=0,\therefore (x-m+2)(x-m-2)=0.$$\therefore x-m+2=0$或$x-m-2=0.$$\because x_{1}＞x_{2},\therefore x_{1}=m+2,x_{2}=m-2.$$\because x_{1}=2x_{2}+3,\therefore m+2=2(m-2)+3$,解得$m=3.$

2. (2023·泸州)若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程$x^2-10x+m= 0$的两个实数根,且该菱形的面积为11,则该菱形的边长为(C)
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$

答案： C 解析:设该菱形的两条对角线的长分别为a、b.由题意,得$\left\{\begin{array}{l} a+b=10,\\ \frac {1}{2}ab=11.\end{array}\right. $
∴菱形的边长=$\sqrt {(\frac {a}{2})^{2}+(\frac {b}{2})^{2}}=\frac {1}{2}\sqrt {a^{2}+b^{2}}=\frac {1}{2}\sqrt {(a+b)^{2}-2ab}=\frac {1}{2}\sqrt {100-44}=\frac {1}{2}\sqrt {56}=\sqrt {14}.$

3. (2023·鄂州)若实数a、b分别满足$a^2-3a+2= 0$,$b^2-3b+2= 0$,且$a\neq b$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac {3}{2}$解析:
∵a、b分别满足$a^{2}-3a+2=0,b^{2}-3b+2=0$,且$a≠b$,
∴a、b可以看作是一元二次方程$x^{2}-3x+2=0$的两个实数根.$\therefore a+b=3,ab=2.\therefore \frac {1}{a}+\frac {1}{b}=\frac {a+b}{ab}=\frac {3}{2}.$

4. 若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程$x^2-6x+n= 0$的两个根,则n的值为8或9.

答案： 8或9 解析:当4为腰长时,将$x=4$代入$x^{2}-6x+n=0$,得$4^{2}-6×4+n=0$,解得$n=8$.当$n=8$时,原方程为$x^{2}-6x+8=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=4$.
∴等腰三角形的三边长为4、4、2.$\because 2+4=6＞4$,
∴n=8符合题意.当4为底边长时,关于x的方程$x^{2}-6x+n=0$有两个相等的实数根,$\therefore (-6)^{2}-4×1×n=0$,解得$n=9$.当$n=9$时,原方程为$x^{2}-6x+9=0$,解得$x_{1}=x_{2}=3$.
∴等腰三角形的三边长为3、3、4.$\because 3+3=6＞4$,
∴n=9符合题意.综上所述,n的值为8或9.

5. 已知整数$k＜5$,$\triangle ABC$的三边长均满足关于x的方程$x^2-3\sqrt{k}x+8= 0$,则$\triangle ABC$的周长是6或12或10.

答案： 6或12或10 解析:根据题意,得$k≥0$且$(3\sqrt {k})^{2}-4×8≥0$,解得$k≥\frac {32}{9}$.
∵整数$k＜5$,
∴k=4.
∴方程变形为$x^{2}-6x+8=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=4$.
∵△ABC的三边长均满足关于x的方程$x^{2}-6x+8=0,$
∴△ABC的三边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2.
∴△ABC的周长为6或12或10.

6. 已知关于x的方程$(x-2)(x-3)-k^2= 0$.
(1)求证：无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$,且$x_1＞x_2$,求证：$x_1+2x_2\leq7$.

答案： （1）$\because (x-2)(x-3)-k^{2}=0,$$\therefore x^{2}-5x+6-k^{2}=0.$$\therefore b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(6-k^{2})=25-24+4k^{2}=1+4k^{2}.$
∵无论k取何值时,总有$4k^{2}≥0,$$\therefore 1+4k^{2}＞0.$
∴无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.
（2）由（1）,得$x^{2}-5x+6-k^{2}=0,$$\therefore x_{1}+x_{2}=5.$$\therefore x_{1}+2x_{2}=x_{1}+x_{2}+x_{2}=5+x_{2}.$$\because x_{1}＞x_{2},$$\therefore x_{2}=\frac {5-\sqrt {4k^{2}+1}}{2}.$$\because 4k^{2}+1≥1,$$\therefore \sqrt {4k^{2}+1}≥1.$$\therefore \frac {5-\sqrt {4k^{2}+1}}{2}≤2$,即$x_{2}≤2.$$\therefore 5+x_{2}≤7$,即$x_{1}+2x_{2}≤7.$

7. 已知关于x的方程$x^2-2mx+m^2-n= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求n的取值范围.
(2)若n为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的2倍,求m的值.

答案： （1）
∵关于x的方程$x^{2}-2mx+m^{2}-n=0$有两个不相等的实数根,$\therefore b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m^{2}-n)=4m^{2}-4m^{2}+4n＞0.$$\therefore n＞0.$
（2）
∵n为符合条件的最小整数,且$n＞0,$$\therefore n=1.$
∴原方程为$x^{2}-2mx+m^{2}-1=0.$设该方程的根是a、2a.$\therefore a+2a=2m,a\cdot 2a=m^{2}-1$,解得$a=2,m=3$或$a=-2,m=-3$(不合题意,舍去).
∴m的值为3.

8. (2024·泰州姜堰二模)某地建立了一个劳动实践基地,小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲、乙两种蔬菜,其中甲种蔬菜的种植面积不少于20亩,乙种蔬菜的种植面积不少于50亩.
信息2：甲种蔬菜每亩的种植成本y元与其种植面积x亩之间满足函数关系：$y= \frac{1}{2}x+10$,乙种蔬菜每亩的种植成本为50元.
(1)若甲种蔬菜每亩的种植成本是30元,求乙种蔬菜的总种植成本.
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积,使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为4272元？

答案： （1）设甲种蔬菜的种植面积为x亩.由题意,得$\frac {1}{2}x+10=30$,解得$x=40$,符合题意.$\therefore 100-x=100-40=60.$$\therefore 50×60=3000$(元).
∴乙种蔬菜的总种植成本为3000元.
（2）设甲种蔬菜的种植面积为m亩,则乙种蔬菜的种植面积为(100-m)亩.由题意,得$m≥20,100-m≥50,$$\therefore 20≤m≤50.$由题意,得$(\frac {1}{2}m+10)m+50(100-m)=4272$,整理,得$m^{2}-80m+1456=0$,解得$m_{1}=28,m_{2}=52$(不合题意,舍去).当$m=28$时,$100-m=72,$
∴当甲种蔬菜的种植面积为28亩,乙种蔬菜的种植面积为72亩时,甲、乙两种蔬菜的总种植成本为4272元.