《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

11. 如图,在直线l上有一个边长为8 cm的正方形ABCD和一个直径为4 cm的$\odot O$,$\odot O$紧贴着正方形的边AB.
(1)如图①,正方形保持不动,$\odot O$沿直线l以2 cm/s的速度向右匀速滚动,从初始位置到$\odot O$恰好离开正方形时停止滚动(即到达$\odot O'$的位置).在这个过程中$\odot O$扫过的面积是多少? 这个过程共用了几秒?
(2)如图②,$\odot O$沿着正方形外侧按照A→B→C→D匀速滚动,碰到直线l则停止滚动(即到达$\odot O''$的位置).在整个过程中,圆心O经过的路径长是多少?

答案：

(1) ⊙O 扫过的部分如图①涂色部分所示，涂色部分的面积为π×($\frac{4}{2}$)² + 4×(8 + 4) = (48 + 4π)cm²，
∴ 在这个过程中⊙O 扫过的面积是(48 + 4π)cm²，这个过程共用了(4 + 8)÷2 = 6(s).
(2) ⊙O 在滚动过程中，圆心 O 经过的路径如图②所示，则圆心 O 经过的路径长是(8 - $\frac{4}{2}$)×2 + 8 + 2×$\frac{1}{4}$×π×4 = (20 + 2π)cm.

12. 如图,AB为$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的切线,C为切点,连接BC.ED垂直平分OB,垂足为E,且交$\widehat{BC}$于点F,交BC于点P,连接BF、CF.
(1)求证:$\angle DCP= \angle DPC$.
(2)当BC平分$\angle ABF$时,求证:CF//AB.
(3)在(2)的条件下,OB= 2,求涂色部分的面积.

答案：

(1) 如图，连接 OC.
∵ CD 是⊙O 的切线，C 为切点，
∴ ∠DCO = 90°，即∠OCB + ∠DCP = 90°.
∵ DE⊥OB，
∴ ∠DEB = 90°.
∴ ∠OBC + ∠BPE = 90°.
∵ OC = OB，
∴ ∠OCB = ∠OBC.
∴ ∠DCP = ∠BPE.
∵ ∠BPE = ∠DPC，
∴ ∠DCP = ∠DPC.
(2) 如图，连接 OF.
∵ ED 垂直平分 OB，
∴ OF = BF.
∵ OF = OB，
∴ BF = OF = OB.
∴ △BOF 是等边三角形.
∴ ∠FOB = ∠ABF = 60°.
∴ ∠FCB = $\frac{1}{2}$∠FOB = 30°.
∵ BC 平分∠ABF，
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABF = 30°.
∴ ∠FCB = ∠ABC.
∴ CF//AB.
(3) 由
(2)，可知∠ABC = ∠CBF = 30°.
∴ ∠COF = 2∠CBF = 60°.
∵ OC = OF，
∴ △COF 是等边三角形.
∴ CF = OF = OB = 2.
∴ S扇形COF = $\frac{60π×2²}{360}$ = $\frac{2π}{3}$.
∵ ED 垂直平分 OB，
∴ OE = $\frac{1}{2}$OB = 1，∠FEO = 90°.在 Rt△FEO 中，EF = $\sqrt{OF² - OE²}$ = $\sqrt{3}$.
∵ 易得 S△COF = S△BOF，
∴ S△COF = $\frac{1}{2}$OB·EF = $\sqrt{3}$.
∴ S涂色部分 = S扇形COF - S△COF = $\frac{2π}{3}$ - $\sqrt{3}$.

13. 如图①,BC是$\odot O$的直径,A是$\odot O$上一动点,AD⊥BC,垂足为D.AD上有一点E,且AE= BE. 延长BE交AC于点F,交$\odot O$于点G.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图①的AD上作出点E(直尺与圆规各限用一次),并说明理由.
(2)如图②,若AG//BC,$\odot O$的半径为6,求涂色部分的面积.
答案讲解

答案：

(1) 如图①，以点 A 为圆心、AB 长为半径，用圆规画弧交⊙O 于点 G，用直尺连接 BG 交 AD 于点 E.理由:如图①，连接 AG，延长 AD 交⊙O 于点 H，连接 BH.
∵ 以点 A 为圆心、AB 长为半径，用圆规画弧交⊙O 于点 G，
∴ AB = AG，∠ABG = ∠AGB.
∵ BC 是⊙O 的直径，AD⊥BC，
∴ AD = DH，∠BDA = ∠BDH = 90°，弧BA = 弧BH.
∴ ∠BAD = ∠BHD.
∵ 弧AB = 弧AB，
∴ ∠AGB = ∠AHB.
∴ ∠EAB = ∠EBA.
∴ AE = BE.
∴ 点 E 即为所求.
(2) 如图②，连接 OA 交 BG 于点 K，连接 OG.由
(1)，可得∠EAB = ∠EBA，AB = AG，∠AGB = ∠ABG.
∵ AG//BC，
∴ ∠AGB = ∠OBG.
∴ ∠ABG = ∠OBG.
∵ OB = OG，
∴ ∠OBG = ∠OGB.
∴ ∠OGB = ∠ABG.
∴ AB//OG.
∴ 四边形 ABOG 是平行四边形.又
∵ AB = AG，
∴ 四边形 ABOG 是菱形.
∵ 对角线 AO、BG 交于点 K，
∴ KA = KO，KB = KG.在△KAB 和△KOG 中，KA = KO，∠AKB = ∠OKG，KB = KG，
∴ △KAB≌△KOG.
∴ S△KAB = S△KOG.
∴ S涂色部分 = S扇形AOG.
∵ 四边形 ABOG 是菱形，
∴ AB = BO，∠ABO = ∠AGO.
∵ BO = AO，
∴ AB = BO = OA.
∴ △ABO 是等边三角形.
∴ ∠ABO = ∠AOB = 60° = ∠AGO.
∵ AG//BC，
∴ ∠AGO = ∠COG = 60°.
∴ ∠AOG = 180° - ∠AOB - ∠COG = 180° - 60° - 60° = 60°.
∴ S扇形AOG = $\frac{60π×6²}{360}$ = 6π.
∴ 涂色部分的面积为 6π.