《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

典例1 已知关于x的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2-k= 0$.
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根.
(2)如果方程有一个根为0,求k的值.

答案： （1）在方程$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}-k=0$中,$b^{2}-4ac=(2k-1)^{2}-4×(k^{2}-k)=4k^{2}-4k+1-4k^{2}+4k=1＞0$,
∴此方程总有两个不相等的实数根.
（2）将$x=0$代入$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}-k=0$,得$k^{2}-k=0$,解得$k=0$或1.
∴k的值为0或1.

[变式] 已知关于x的一元二次方程$x^2+(m-6)x-6m= 0$.
(1)求证：该方程总有两个实数根.
(2)若该方程有一个实数根小于2,求m的取值范围.

答案： （1）$\because a=1,b=m-6,c=-6m,$$\therefore b^{2}-4ac=(m-6)^{2}-4×(-6m)=m^{2}+12m+36=(m+6)^{2}≥0.$
∴该方程总有两个实数根.
（2）解该方程,得$x_{1}=-m,x_{2}=6.$
∵方程有一个实数根小于2,$\therefore -m＜2.$$\therefore m＞-2.$