《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

[变式] 如图,正方形剪去四个角后成为一个正八边形.
(1)若正八边形的边长为2,求剪去的四个角的面积和.
(2)若正方形的边长为2,求正八边形的边长.

答案：
(1)
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，正八边形每个内角为135°，
∴∠CAB = ∠CBA = 45°.
易得剪去的四个角是四个全等三角形.
设AC = BC = x.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+x^{2}=4$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$(不合题意，舍去).
∴剪去的四个角的面积和=$4S_{\triangle ABC}=4×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$.
(2)设正八边形的边长为y，则易得剪掉的等腰直角三角形的直角边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}y$.
∵正方形的边长为2，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}y+y+\frac{\sqrt{2}}{2}y=2$，解得$y=2\sqrt{2}-2$.
∴正八边形的边长为$2\sqrt{2}-2$.

1. 如图,A、B、C、D四点均在⊙O上,∠AOB= 30°,∠BCD= 80°,OA//BC,则∠D-∠CAD的度数为 ( )

A.40°
B.35°
C.30°
D.25°

答案：
B　解析：如图，连接OC.
∵OA//BC，∠AOB = 30°，
∴∠OBC = ∠AOB = 30°.
∵OC = OB，
∴∠OCB = ∠OBC = 30°.
∴∠BOC = 120°.
∴∠AOC = 120° + 30° = 150°.
∴∠D = $\frac{1}{2}$∠AOC = 75°.
∵∠AOB = 30°，
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 15°.
∵∠BCD = 80°，
∴∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 80° - 15° = 65°.
∴∠CAD = 180° - ∠D - ∠ACD = 180° - 75° - 65° = 40°.
∴∠D - ∠CAD = 75° - 40° = 35°.

2. 如图所示为某工件槽的正面示意图,两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内.若铁球与工件槽同时具有A、B、E三个接触点,则该铁球的半径是 ( )

A.8 cm
B.6 cm
C.12 cm
D.10 cm

答案：
D　解析：如图，设圆心为点O，连接OA、AB、OE，OE交AB于点C.
由题意，易得AB = 16 cm，CE = 4 cm，E为$\overset{\frown}{AB}$的中点.
∴易得OE⊥AB.
∴AC = BC = $\frac{1}{2}$AB = 8 cm.
设$\odot O$的半径为R cm，则OC = (R - 4)cm.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$，即$R^{2}=8^{2}+(R - 4)^{2}$，解得R = 10.
∴该铁球的半径是10 cm.

3. 如图,在⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为$\widehat{CBD}$的中点,连接AF、BF、AC、CF,AF交CD于点M,过点F作FH⊥AC,垂足为G,连接CH.有下列结论：① $\widehat{CF}= \widehat{DF}$；② HC= BF；③ MF= FC；④ $\widehat{DF}+\widehat{AH}= \widehat{BF}+\widehat{AF}$.其中,正确的有 (C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C　解析：
∵F为$\overset{\frown}{CBD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DF}$.故①正确.
∴∠FCM = ∠FAC.
∵∠FCG = ∠ACM + ∠FCM，∠AME = ∠FMC = ∠ACM + ∠FAC，
∴∠AME = ∠FMC = ∠FCG＞∠FCM.
∴FC≠MF.故③错误.
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM = ∠CGF = 90°.
∴∠CFH + ∠FCG = 90°，∠BAF + ∠AME = 90°.
∵∠AME = ∠FCG，
∴∠CFH = ∠BAF.
∴$\overset{\frown}{CH}=\overset{\frown}{BF}$.
∴HC = BF.故②正确.
∵∠AGF = 90°，
∴∠AFH + ∠CAF = 90°.
∴$\overset{\frown}{AH}$的度数 + $\overset{\frown}{CF}$的度数 = 180°.
∴$\overset{\frown}{CH}$的度数 + $\overset{\frown}{AF}$的度数 = 180°.
∴$\overset{\frown}{DF}+\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{AH}=\overset{\frown}{CH}+\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{AF}$.故④正确.
综上所述，正确的有3个.

4. 如图,⊙O的弦AB= 8,以AB为边作正方形ABCD,边CD与⊙O相切,切点为E,则⊙O的半径为 ( )

A.4
B.3
C.6
D.5

答案：
D　解析：如图，连接EO并延长，交AB于点F，连接OA.
设$\odot O$的半径为r，则OA = r，易得OF = 8 - r.
∵CD与$\odot O$相切，
∴OE⊥CD.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB//CD.
∴OF⊥AB.
∴AF = $\frac{1}{2}$AB = 4.
在Rt△OAF中，由勾股定理，得$AF^{2}+OF^{2}=OA^{2}$，即$4^{2}+(8 - r)^{2}=r^{2}$，解得r = 5.
∴$\odot O$的半径为5.

5. 若一个等边三角形的边长是6,则这个等边三角形的内切圆的半径是$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

6. 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD⊥CD,AD交⊙O于点E,且C为$\widehat{BE}$的中点,连接AC.
(1)求证：CD为⊙O的切线.
(2)F为⊙O上一点,连接AF,若AF//CD,AC= 10,AF= 12,求⊙O的半径.

答案：

(1)如图，连接OC.
∵C为$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$.
∴BC = CE，∠EAC = ∠CAB.
∵OA = OC，
∴∠CAB = ∠ACO.
∴∠EAC = ∠ACO.
∴OC//AD.
∴∠OCD + ∠D = 180°.
∵AD⊥CD，
∴∠D = 90°.
∴∠OCD = 90°.
∴OC⊥CD.
∵OC为$\odot O$的半径，
∴CD为$\odot O$的切线.
(2)如图，延长CO交AF于点G.
由
(1)，知∠OCD = 90°，
∵AF//CD，
∴∠CGF = ∠OCD = 90°.
∴OG⊥AF，$AG=\frac{1}{2}AF = 6$.
∵AC = 10，
∴$CG=\sqrt{AC^{2}-AG^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$.
在Rt△AOG中，根据勾股定理，得$OG^{2}+AG^{2}=OA^{2}$.
设$\odot O$的半径为r，则OG = CG - OC = 8 - r.
∴$(8 - r)^{2}+6^{2}=r^{2}$.
∴$r=\frac{25}{4}$.
∴$\odot O$的半径为$\frac{25}{4}$.