《2025年拔尖特训九年级数学上册苏科版》

7. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,O 为对角线的交点,E、F 分别为 BC、AD 的中点,以点 C 为圆心、2 为半径作圆弧 BD,再分别以点 E、F 为圆心、1 为半径作圆弧 BO、OD,则图中涂色部分的面积为 (C)
A.$\pi-1$
B.$\pi-3$
C.$\pi-2$
D.$4-\pi$

答案： C

8. 如图,扇形 AOB 中,∠AOB= 90°,OB= $\sqrt{3}$,C 为 AO 上一点,将扇形 AOB 沿着 BC 折叠,A'B 恰好经过点 O,则涂色部分的面积为 (C)

A.$\frac{3}{2}\pi-\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{4}\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{3}{4}\pi-\sqrt{3}$
D.$\frac{3}{2}\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C

9. 将半径为 2 的圆形纸片按如图所示的方式折叠. 若$\overset{\frown}{AB}和\overset{\frown}{BC}$都经过圆心 O,则图中涂色部分的面积是______$\frac{4\pi}{3}$.

答案： $\frac{4\pi}{3}$

10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,点 E 在 AC 上,以 AE 为直径的⊙O 经过点 D,交边 AB 于点 F.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线.
(2)若 F 是$\overset{\frown}{AD}$的中点,且 CE= 4,求涂色部分的面积.

答案：
(1)如图,连接DO.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD = ∠EAD.
∵AO = DO,
∴∠EAD = ∠ADO.
∴∠BAD = ∠ADO.
∴BA//DO.
∵∠B = 90°,
∴∠CDO = 90°.
∴OD⊥BC.又
∵OD是⊙O的半径,
∴BC是⊙O的切线.
(2)如图，连接FO、DF、DE.
∵F是$\overset{\frown}{AD}$的中点,
∴$\overset{\frown}{DF}$ = $\overset{\frown}{AF}$.
∴∠DOF = ∠AOF,∠BAD = ∠ADF.
∵∠BAD = ∠EAD,
∴∠EAD = ∠ADF.
∴DF//AC.
∴∠AOF = ∠DFO.
∴∠DOF = ∠DFO.又
∵OF = OD,
∴∠DFO = ∠FDO.
∴∠DFO = ∠FDO = ∠DOF = ∠AOF = 60°.
∴∠DOE = 60°.又
∵OD = OE,
∴△DEO是等边三角形.
∴DE = DO,∠EDO = ∠DEO = 60°.又
∵∠ODC = 90°,
∴∠CDE = 30° = ∠C.
∴CE = DE = DO = 4.又
∵DF//AC,
∴S△DFA = S△DFO.
∴S涂色部分 = S扇形DOF = $\frac{1}{6}\pi×4²$ = $\frac{8}{3}\pi$.

11. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,BC= 4,以点 A 为圆心、AD 长为半径画弧,交 AB 于点 E,以点 C 为圆心、CD 长为半径画弧,交 CB 的延长线于点 F,求图中涂色部分的面积.

答案： 13π - 24