《2025年一遍过八年级数学上册沪科版》

9 教材P140T1变式 如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论不一定成立的是( )

A.PA= PB
B.PO平分∠APB
C.OA= OB
D.AB垂直平分OP

答案： D
∵ OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,
∴ PA=PB,易知Rt△AOP≌Rt△BOP,
∴ OA=OB,∠OPA=∠OPB,即PO平分∠APB,故A,B,C一定成立;由已知条件能得出AB垂直于OP,但AB不一定平分OP.

10 [2025安庆期末]如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF= OD= OE,若∠BAC= 70°,则∠BOC的度数为( )

A.70°
B.120°
C.125°
D.130°

答案： C
∵ 点O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,
∴ 点O是三角形三条角平分线的交点,
∴ ∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵ ∠BAC=70°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,
∴ ∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×110°=55°,
∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°.

11 [2024齐齐哈尔中考]如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于$ \frac { 1 } { 2 } M N $的长为半径画弧,两弧在第一象限交于点H,画射线OH,若H(2a-1,a+1),则a= ______.

答案： 2 由作图过程可知,OH为∠MON的平分线,则点H到两坐标轴的距离相等,
∴ 2a-1=a+1,解得a=2.

12 [2024合肥期末]如图,AB//CD,∠BAC,∠ACD的平分线交于点O,OE⊥AC于点E,且OE= 3cm,则直线AB与CD之间的距离为______cm.

答案： 6 如图,过点O作OM⊥AB于点M,延长MO交CD于点N,
∵ AB//CD,
∴ ON⊥CD.
∵ AO平分∠BAC,OM⊥AB,OE⊥AC,
∴ OM=OE=3 cm.
∵ CO平分∠ACD,OE⊥AC,ON⊥CD,
∴ ON=OE=3 cm,
∴ MN=OM+ON=6 cm,即AB与CD之间的距离是6 cm.

13 [2025合肥庐江县质检]如图,已知△ABC的周长是21,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD= 3,则△ABC的面积是______.

答案： $\frac{63}{2}$ 如图,连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F.
∵ BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴ OE=OD=3,OF=OD=3.
∵ △ABC的周长是21,
∴ AB+BC+AC=21,
∴ $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AB\cdot OE+\frac{1}{2}BC\cdot OD+\frac{1}{2}AC\cdot OF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)\cdot 3=\frac{1}{2}×21×3=\frac{63}{2}$.

14 [2025合肥期末]如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线PQ与△ABC的外角平分线交于点P,过点P作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E.若BC= 6,AC= 4,求CE的长度.

答案： 解:如图,连接PA,PB.
∵ CP是∠BCE的平分线,且PD⊥BC,PE⊥AC,
∴ PD=PE.在Rt△CDP和Rt△CEP中,$\left\{\begin{array}{l} PD=PE,\\ PC=PC,\end{array}\right.$
∴ Rt△CDP≌Rt△CEP(HL),
∴ CD=CE.
∵ PQ是线段AB的垂直平分线,
∴ PA=PB.在Rt△AEP和Rt△BDP中,$\left\{\begin{array}{l} PE=PD,\\ PA=PB,\end{array}\right.$
∴ Rt△AEP≌Rt△BDP(HL),
∴ AE=BD,
∴ BC=BD+CD=AE+CE=AC+2CE,
∴ CE=$\frac{1}{2}(BC-AC)=\frac{1}{2}×(6-4)=1$.

15 推理能力 如图,在△ABC中,∠BAD= ∠DAC,DF⊥AB于点F,DM⊥AC于点M,AB= 16cm,AF= 10cm,AC= 14cm,动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动,同时动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为ts.
(1)求$ S _ { \triangle A B D } : S _ { \triangle A C D } $.
(2)求证:在运动过程中,无论t取何值,都有$ S _ { \triangle A E D } = 2 S _ { \triangle D G C } $.
(3)当t取何值时,△DFE与△DMG全等?

答案：
(1)解:
∵ ∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC,
∴ DF=DM.
∵ $S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DF$,$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DM$,AB=16 cm,AC=14 cm.
∴ $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=AB:AC=8:7$.
(2)证明:
∵ $S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}AE\cdot DF$,$S_{\triangle DGC}=\frac{1}{2}CG\cdot DM$,DF=DM,
∴ $S_{\triangle AED}:S_{\triangle DGC}=AE:CG$.
∵ 动点E以2 cm/s的速度从A点向F点运动,同时动点G以1 cm/s的速度从C点向A点运动,
∴ AE=2t cm,CG=t cm,
∴ AE:CG=2:1,
∴ $S_{\triangle AED}=2S_{\triangle DGC}$.
∴ 在运动过程中,无论t取何值,都有$S_{\triangle AED}=2S_{\triangle DGC}$.
(3)解:在△ADF和△ADM中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AFD=∠AMD,\\ ∠FAD=∠MAD,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴ △ADF≌△ADM(AAS),
∴ AM=AF=10 cm,
∵ AC=14 cm,
∴ CM=4 cm.由题意知EF=AF-AE=(10-2t)cm,CG=t cm,
∴ 0≤t≤5.
∵ DF=DM,∠DFE=∠DMG,
∴ 当EF=MG时,△DFE≌△DMG(SAS).①当点G在线段AM上时,4＜t≤5,MG=CG-CM=(t-4)cm.
∴ 10-2t=t-4,解得t=$\frac{14}{3}$.②当点G在线段CM上时,0≤t≤4,MG=(4-t)cm,
∴ 10-2t=4-t,解得t=6(舍去).综上,当t=$\frac{14}{3}$时,△DFE与△DMG全等