《2025年一遍过八年级数学上册沪科版》

过全章 题串练透全章知识 答案 P34
如图,在$\triangle ABC$中,$E,F分别为边BC,AC$上的点,连接$AE,BF交于点O$,$\angle C = 40^{\circ}$.

【基础设问】
(1)以$AB$为边的三角形共有____个.
(2)若$AB = 3$,$AC = 4$,则$BC$长度的取值范围为____.
(3)$\angle EOF = \angle AOB$的依据是____,这个依据的逆命题是____,这个逆命题是____命题(填“真”或“假”).
(4)若$\angle ABC = \frac{3}{2}\angle BAC$,则$\triangle ABC$是____三角形.
(5)若$AE,BF均是\triangle ABC$的高线,求$\angle AOB$的度数.
(6)若$AE,BF均是\triangle ABC$的角平分线,求$\angle AOB$的度数.
(7)若$AE是\triangle ABC$的高,$BF是\triangle ABC$的角平分线,$\angle BAE = 10^{\circ}$,求$\angle AOB$的度数.
【能力设问】
(8)若$AE,BF均是\triangle ABC$的中线,
①$AB = 3$,$AC = 4$,则$\triangle ACE与\triangle ABE$的周长差为____;
②$\triangle AEB的面积是2$,求$\triangle AFB$的面积.
(9)若$AE是\triangle ABC$的角平分线,过点$A作AD\perp BC于点D$.
①若$\angle ABC = 60^{\circ}$,求$\angle EAD$的度数;
②若$\angle ABC ＞ \angle C$,猜想$\angle EAD与\angle ABC - \angle C$之间的数量关系,并证明.

答案：
(1)4
(2)1＜BC＜7　根据三角形的三边关系,可得4−3＜BC＜3+4,即1＜BC＜7.
(3)对顶角相等　相等的角是对顶角　假(或同角的补角相等　如果两个角相等，那么它们是同一个角的补角　假)
(4)锐角
∵∠ABC=$\frac{3}{2}$∠BAC,∠C=40°,
∴∠BAC+∠ABC+∠C=∠BAC+$\frac{3}{2}$∠BAC+40°=180°,解得∠BAC=56°,
∴∠ABC=$\frac{3}{2}$×56°=84°,
∴△ABC是锐角三角形.
(5)
∵AE,BF均是△ABC的高线，
∴∠BFC=∠AEB=90°,
∴∠FBC=180°−∠C−∠BFC=180°−40°−90°=50°,则∠AOB=∠AEB+∠FBC=140°.
(6)
∵AE,BF均是△ABC的角平分线,
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,
∴∠ABC+∠BAC=180°−40°=140°,
∴∠ABO+∠BAO=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠BAC)=70°,
∴∠AOB=180°−(∠ABO+∠BAO)=110°.
(7)
∵AE是△ABC的高,BF是△ABC的角平分线，
∴∠AEB=90°,∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠BAE+∠AEB+∠ABC=180°,
∴∠ABC=180°−90°−10°=80°,
∴∠FBC=80°×$\frac{1}{2}$=40°,
∴∠AOB=∠AEB+∠FBC=90°+40°=130°.
(8)①1
∵AE是△ABC的中线,
∴CE=BE.
∵AB=3,AC=4,$C_{\triangle ACE}=AC+AE+CE$,$C_{\triangle AEB}=AB+AE+BE$,
∴$C_{\triangle ACE}-C_{\triangle AEB}=AC-AB=1$.②
∵AE是△ABC的中线,
∴$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle AEB}=4$.
∵BF是△ABC的中线,
∴$S_{\triangle AFB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=2$.
(9)①
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-60°-40°=80°.
∵AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°,∠ADE=90°,
∴∠BAD=∠ADE-∠ABC=30°,
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=10°.②∠EAD=$\frac{1}{2}$(∠ABC-∠C).证明如下:
∵AD⊥BC,
∴∠ADE=90°,
∴∠BAD=90°-∠ABC.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC-∠C),
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC-∠C)-(90°-∠ABC)=$\frac{1}{2}$(∠ABC-∠C).