《2025年一遍过八年级数学上册沪科版》

1 [2024成都期中]如图,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,AB= AC。求证：CD= 2CE。

答案：
证明:如图,延长CE到点F,使EF=CE,连接FB.
∵CE是△ABC的中线,
∴AE=BE.
在△AEC和△BEF中,{AE=BE,∠AEC=∠BEF,EC=EF,

∴△AEC≌△BEF(SAS),
∴∠A=∠EBF,AC=BF.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.
∵CB是△ADC的中线,
∴AB=BD.
又
∵AB=AC,AC=BF,
∴BF=BD.
在△CBF和△CBD中,{CB=CB,∠CBF=∠CBD,BF=BD,
∴△CBF≌△CBD(SAS),
∴CD=CF=CE+EF=2CE.
归纳总结
遇到三角形的中线问题,常会延长中线,使延长的线段与原中线长度相等,构造全等三角形,这种方法称为"倍长中线法".

2 一题多解 如图,在△ABC中,AB＞AC,∠1= ∠2,P为AD上任意一点,则AB-AC与PB-PC的大小关系是 ( )

A.AB-AC＞PB-PC

B.AB-AC＜PB-PC
C.AB-AC= PB-PC
D.无法确定

答案：
A通解:如图1,延长AC至点M,使AM=AB,连接PM.
在△ABP和△AMP中,{AB=AM,∠1=∠2,AP=AP,

∴△ABP≌△AMP(SAS),
∴PB=PM.在△PCM中,根据三角形的三边关系,得CM＞PM - PC,
∴AM - AC＞PB - PC,
∴AB - AC＞PB - PC.
另解:如图2,在AB上取一点E,使AE=AC,连接PE.
在△AEP和△ACP中,{AE=AC,∠1=∠2,AP=AP,

∴△AEP≌△ACP(SAS),
∴PE=PC.
∵AE=AC,
∴BE=AB - AE=AB - AC.
在△PBE中,根据三角形的三边关系,得BE＞PB - PE,
∴AB - AC＞PB - PC.

3 [2025阜阳期末](1)如图1,在四边形ABCD中,∠A= ∠C= 90°,∠D= 60°,AB= BC,点E,F分别在边AD,CD上,且∠EBF= 60°。求证：EF= AE+CF。
(2)如图2,在(1)的条件下,若E,F分别在AD,DC的延长线上。求证：AE= EF+CF。

答案：
3. 证明:
(1)如图1,延长DA到点G,使AG=CF,连接BG,BD.
在△ABG和△CBF中,{AB=CB,∠BAG=∠C,AG=CF,
∴△ABG≌△CBF(SAS),
∴BG=BF,∠ABG=∠CBF.
∵∠BAD=∠C=90°,∠ADC=60°,∠BAD+∠ABD+∠BDA=180°,∠DBC+∠C+∠BDC=180°,
∴∠ABC=120°.
∵∠EBF=60°,
∴∠EBG=∠ABG+∠ABE=∠CBF+∠ABE=∠ABC - ∠EBF=120° - 60°=60°,
∴∠EBG=∠EBF.
在△BEF和△BEG中,{BF=BG,∠EBF=∠EBG,BE=BE,

∴△BEF≌△BEG(SAS),
∴EF=EG.
∵EG=AE+AG,
∴EF=AE+CF.
(2)如图2,在AE上截取AG=CF,连接BG,BD.
在△ABG和△CBF中,{AB=CB,∠A=∠BCF,AG=CF,
∴△ABG≌△CBF(SAS),
∴BG=BF,∠CBF=∠ABG.
∵∠A=∠BCD=90°,∠ADC=60°,∠A+∠ABD+∠BDA=180°,∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°,
∴∠ABC=120°.
∵∠EBF=60°,
∴∠EBG=∠ABC - ∠ABG - ∠CBE=∠ABC - ∠CBF - ∠CBE=∠ABC - ∠EBF=120° - 60°=60°,
∴∠EBG=∠EBF.
在△BEF和△BEG中,{BF=BG,∠EBF=∠EBG,BE=BE,
∴△BEF≌△BEG(SAS),
∴EF=EG.
∵AE=GE+AG,
∴AE=EF+CF.
归纳总结
截长补短法
证明一条线段等于另两条线段的和(差)的常见方法是在长线段上截取一条线段等于一条短线段,再证明余下的线段等于另一条短线段,这种方法称为"截长法";在其中一条短线段的延长线上截取一条线段等于另一条短线段,再证明两条短线段的和与长线段相等,这种方法称为"补短法".