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15. 一个正方形的边长为$(10\sqrt {15} + 5\sqrt {5})\text{m}$,在这个正方形的内部挖去一个边长为$(10\sqrt {15} - 5\sqrt {5})\text{m}$的正方形,则剩余部分的面积为多少？
答案：
解：剩余部分面积
$=(10\sqrt{15}+5\sqrt{5})^{2}-(10\sqrt{15}-5\sqrt{5})^{2}$
$=2×10\sqrt{15}×5\sqrt{5}-(-2×10\sqrt{15}×5\sqrt{5})$
$=4×10\sqrt{15}×5\sqrt{5}$
$=1000\sqrt{3}(m^{2})$.
$\therefore$ 剩余部分的面积为 $1000\sqrt{3}m^{2}$.
$=(10\sqrt{15}+5\sqrt{5})^{2}-(10\sqrt{15}-5\sqrt{5})^{2}$
$=2×10\sqrt{15}×5\sqrt{5}-(-2×10\sqrt{15}×5\sqrt{5})$
$=4×10\sqrt{15}×5\sqrt{5}$
$=1000\sqrt{3}(m^{2})$.
$\therefore$ 剩余部分的面积为 $1000\sqrt{3}m^{2}$.
16. 已知$m = \sqrt {2} - 1$。
(1)求代数式$m^{2} + 4m + 4$的值；
(2)求代数式$m^{3} + m^{2} - 3m + 2023$的值。
(1)求代数式$m^{2} + 4m + 4$的值；
(2)求代数式$m^{3} + m^{2} - 3m + 2023$的值。
答案：
解：
(1) $m^{2}+4m + 4=(m + 2)^{2}$.
当 $m=\sqrt{2}-1$ 时，
原式 $=(\sqrt{2}-1 + 2)^{2}=(\sqrt{2}+1)^{2}=3 + 2\sqrt{2}$.
(2) $\because m=\sqrt{2}-1$，$\therefore m + 1=\sqrt{2}$.
$\therefore m^{3}+m^{2}-3m + 2023$
$=m^{3}+2m^{2}+m - m^{2}-4m + 2023$
$=m(m + 1)^{2}-m^{2}-4m + 2023$
$=2m - m^{2}-4m + 2023$
$=-m^{2}-2m - 1 + 2024$
$=-(m + 1)^{2}+2024$
$=-2 + 2024$
$=2022$.
(1) $m^{2}+4m + 4=(m + 2)^{2}$.
当 $m=\sqrt{2}-1$ 时，
原式 $=(\sqrt{2}-1 + 2)^{2}=(\sqrt{2}+1)^{2}=3 + 2\sqrt{2}$.
(2) $\because m=\sqrt{2}-1$，$\therefore m + 1=\sqrt{2}$.
$\therefore m^{3}+m^{2}-3m + 2023$
$=m^{3}+2m^{2}+m - m^{2}-4m + 2023$
$=m(m + 1)^{2}-m^{2}-4m + 2023$
$=2m - m^{2}-4m + 2023$
$=-m^{2}-2m - 1 + 2024$
$=-(m + 1)^{2}+2024$
$=-2 + 2024$
$=2022$.
17. 如图,一只蚂蚁从点$A沿数轴向右爬2个单位到达点B$,点$A所表示的数为-\sqrt {2}$。
设点$B所表示的数为m$。
(1)求$m$的值；
(2)求$|m - 1| + (m - 1)^{-1}$的值。
设点$B所表示的数为m$。
(1)求$m$的值；
(2)求$|m - 1| + (m - 1)^{-1}$的值。
答案：
解：
(1) 由题意，得 $m-(-\sqrt{2})=2$，
$\therefore m = 2-\sqrt{2}$.
(2) 原式 $=\vert2-\sqrt{2}-1\vert+(2-\sqrt{2}-1)^{-1}$
$=\sqrt{2}-1+\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
$=-2$.
(1) 由题意，得 $m-(-\sqrt{2})=2$，
$\therefore m = 2-\sqrt{2}$.
(2) 原式 $=\vert2-\sqrt{2}-1\vert+(2-\sqrt{2}-1)^{-1}$
$=\sqrt{2}-1+\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
$=-2$.
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