《2025年湘岳假期暑假作业八年级数学人教版》

20. 如图,在$□ ABCD$中,已知$AD= 15\mathrm{cm}$,点$P在AD上以1\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度从点A向点D$运动,点$Q在BC上以4\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度从点C$出发往返运动.两点同时出发,当点$P到达点D$时停止运动(同时点$Q$也停止),设运动时间为$t(\mathrm{s})(t＞0)$.
(1)当点$P运动t$秒时,线段$PD$的长度为______$\mathrm{cm}$；
当点$P运动2$秒时,线段$BQ$的长度为______$\mathrm{cm}$；
当点$P运动5$秒时,线段$BQ$的长度为______$\mathrm{cm}$.
(2)若经过$t$秒,以$P$、$D$、$Q$、$B$四点为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有$t$的值.

(1)15-t75
(2)解:∵当点 P 到达点 D 时停止运动,
∴t≤15÷1=15,即 0＜t≤15.
若以点 P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行四边形,已有条件 PD//BQ.
还需满足 DP=BQ,
①当点 Q 的运动路线是 C—B 时,
BQ=15-4t,由题意得 15-t=15-4t,
解得 t=0,不合题意;
②当点 Q 的运动路线是 C—B—C 时,
BQ=4t-15,由题意得 15-t=4t-15,
解得 t=6;
③当点 Q 的运动路线是 C—B—C—B 时,
BQ=45-4t,由题意得 15-t=45-4t,
解得 t=10;
④当点 Q 的运动路线是 C—B—C—B—C 时,
BQ=4t-45,由题意得 15-t=4t-45,
解得 t=12;
综上所述,t 的值为 6 或 10 或 12.

答案：
(1)15-t 7 5
(2)解:
∵当点 P 到达点 D 时停止运动,
∴t≤15÷1=15,即 0＜t≤15.
若以点 P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行四边形,已有条件 PD//BQ.
还需满足 DP=BQ,
①当点 Q 的运动路线是 C—B 时,
BQ=15-4t,由题意得 15-t=15-4t,
解得 t=0,不合题意;
②当点 Q 的运动路线是 C—B—C 时,
BQ=4t-15,由题意得 15-t=4t-15,
解得 t=6;
③当点 Q 的运动路线是 C—B—C—B 时,
BQ=45-4t,由题意得 15-t=45-4t,
解得 t=10;
④当点 Q 的运动路线是 C—B—C—B—C 时,
BQ=4t-45,由题意得 15-t=4t-45,
解得 t=12;
综上所述,t 的值为 6 或 10 或 12.

猫吃老鼠
猫抓了$20$只老鼠,将它们按顺序排成一列,猫决定：首先将站在奇数位上的老鼠吃掉,接着将剩下的按顺序重新排列,再吃掉所有站在奇数位上的老鼠.如此重复,最后剩下的一只老鼠将被放生.一只聪明的老鼠听见了,马上选了一个位置,最后剩下的果然是它！你知道这只聪明的老鼠站的是第几的位置吗？

答案： 解：
第一轮吃掉奇数位老鼠后，剩下的老鼠编号为$2$、$4$、$6$、$8$、$10$、$12$、$14$、$16$、$18$、$20$。
第二轮重新排列后，奇数位为$2$、$6$、$10$、$14$、$18$，吃掉后剩下$4$、$8$、$12$、$16$、$20$。
第三轮重新排列后，奇数位为$4$、$12$、$20$，吃掉后剩下$8$、$16$。
第四轮重新排列后，奇数位为$8$，吃掉后剩下$16$。
所以这只聪明的老鼠站的是第$16$的位置。