《2025年湘岳假期暑假作业八年级数学人教版》

20. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,$BE = 2DE$,延长 $DE$ 到点 $F$,使得 $EF = BE$,连接 $CF$.
(1)求证：四边形 $BCFE$ 是菱形；
(2)若 $CE = 4$,$\angle BCF = 120^{\circ}$,求菱形 $BCFE$ 的面积.

答案：
(1) 证明：
∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，
∴$DE// BC$，$BC = 2DE$。
又
∵$BE = 2DE$，$EF = BE$，
∴$EF// BC$，$EF = BC$。
∴四边形 BCFE 是平行四边形。
∵$EF = BE$，
∴平行四边形 BCFE 是菱形。
(2) 解：
∵$∠BCF = 120^{\circ}$，
∴$∠EBC = 60^{\circ}$。
∴$△EBC$是等边三角形。
∴$BC = CE = 4$。
∴在等边$△EBC$中，BC 边上的高为$2\sqrt{3}$。
∴$S_{菱形 BCFE} = 4×2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。

21. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$O$ 是 $AC$ 边上的一动点,过点 $O$ 作直线 $MN// BC$,设 $MN$ 交 $\angle BCA$ 的平分线于点 $E$,交 $\angle ACH$ 的平分线于点 $F$.
(1)求证：$EO = FO$；
(2)当点 $O$ 运动到何处时,四边形 $AECF$ 是矩形？简要说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵$MN// BC$，
∴$∠CEO = ∠ECB$，$∠CFO = ∠FCH$。
∵CE，CF 分别是$∠BCA$，$∠ACH$的平分线，
∴$∠ECO = ∠ECB$，$∠FCO = ∠FCH$。
∴$∠CEO = ∠ECO$，$∠CFO = ∠FCO$。
∴$EO = OC = FO$，
(2) 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形。理由如下：
由
(1)知，$EO = FO$。
∵$AO = CO$，
∴四边形 AECF 是平行四边形。
又
∵$EO = CO$，
∴$AC = EF$。
∴平行四边形 AECF 是矩形。