《2025年湘岳假期暑假作业八年级数学人教版》

22. 阅读材料并回答问题：
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt {2}= (1+\sqrt {2})^{2}$.善于思考的小明进行了以下探索：
设$a+b\sqrt {2}= (m+n\sqrt {2})^{2}$(其中 a,b,m,n 均为正整数),则有$a+b\sqrt {2}= m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt {2}$.
$\therefore a= m^{2}+2n^{2},b= 2mn$.这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt {2}$的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 a,b,m,n 均为正整数时,若$a+b\sqrt {3}= (m+n\sqrt {3})^{2}$,用含 m,n 的式子分别表示 a,b,得$a= $$m^2 + 3n^2$,$b= $$2mn$；
(2)利用所探索的结论,找一组正整数 a,b,m,n 填空：
4+2$\sqrt {3}=$(1+1$\sqrt {3})^{2}$；
(3)若$a+4\sqrt {3}= (m+n\sqrt {3})^{2}$,且 a,m,n 均为正整数,求 a 的值.
解：由题意，得 $a = m^2 + 3n^2$，$b = 2mn$。
$\because 2mn = 4$，且 $m$，$n$ 为正整数，
$\therefore m = 2$，$n = 1$ 或 $m = 1$，$n = 2$。
$\therefore a = 2^2 + 3 = 7$ 或 $a = 1 + 3 × 2^2 = 13$。

答案： （1）$m^2 + 3n^2$ $2mn$；（2）4 2 1 1（答案不唯一）；（3）解：由题意，得 $a = m^2 + 3n^2$，$b = 2mn$。
$\because 2mn = 4$，且 $m$，$n$ 为正整数，
$\therefore m = 2$，$n = 1$ 或 $m = 1$，$n = 2$。
$\therefore a = 2^2 + 3 = 7$ 或 $a = 1 + 3 × 2^2 = 13$。