《2025年湘岳假期暑假作业八年级数学人教版》

19. 如图,在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等,则这个点叫作“和谐点”。例如,图中过点$P分别作x$轴、$y$轴的垂线,与坐标轴围成矩形$OAPB$的周长与面积的数值相等,则点$P$是“和谐点”。
(1)判断点$M(1,2)$,$N(4,4)$是否为“和谐点”,并说明理由；
(2)若“和谐点”$P(a,3)在直线y = -x + b$($b$为常数)上,求$a$,$b$的值。

答案： 解:
(1)点$M$不是“和谐点”，点$N$是“和谐点”，理由如下：
∵点$M$与坐标轴围成的矩形周长为$(1 + 2)×2 = 6$，面积为$1×2 = 2$，
∴点$M$不是“和谐点”.
∵点$N$与坐标轴围成的矩形周长为$2×(4 + 4)=16$，面积为$4×4 = 16$，
∴点$N$是“和谐点”.
(2)
∵点$P(a,3)$是“和谐点”，
∴$2(|a| + 3)=3|a|$.解得$a = 6$，或$a = - 6$.
∴点$P$坐标为$(6,3)$或$(- 6,3)$.把$P(6,3)$代入直线$y = - x + b$，得$3 = - 6 + b$.解得$b = 9$.把$P(- 6,3)$代入直线$y = - x + b$，得$3 = 6 + b$.解得$b = - 3$.
∴$a = 6,b = 9$或$a = - 6,b = - 3$.