《2025年湘岳假期暑假作业八年级数学人教版》

14. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$D是BC$的中点,$E是AD$的中点,过点$A作AF// BC交BE的延长线于点F$.
(1)求证：$\triangle AEF\cong\triangle DEB$；
(2)证明四边形$ADCF$是菱形.

答案： 14.证明:
(1)
∵AF//BC,
∴∠AFE = ∠DBE.
　
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE = DE,BD = CD.
　　在△AFE和△DBE中，$ \begin{cases} \angle AFE = \angle DBE, \\ \angle FEA = \angle BED, \\ AE = DE, \end{cases} $
　
∴△AFE≌△DBE(AAS).
(2)由
(1)知,△AFE≌△DBE,则AF = DB.
∵DB = DC,
∴AF = CD.
∵AF//BC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC = 90°,D是BC的中点.
∴ $AD = DC = \frac{1}{2}BC$.
∴平行四边形ADCF是菱形.

15. 如图,正方形$ABCD$中,$AB= 3\sqrt{2}$,$E是对角线AC$上的一点,连接$DE$. 过点$E作EF\perp ED交AB于点F$,以$DE$,$EF为邻边作矩形DEFG$,连接$AG$.
(1)求证：矩形$DEFG$是正方形；
(2)求$AG+AE$的值.

答案： 15.
(1)证明:如图，作 $EM \perp AD$ 于点 $M$，$EN \perp AB$ 于点 $N$.
　
∵四边形ABCD是正方形，
　
∴∠EAD = ∠EAB.
　
∵ $EM \perp AD$ 于点 $M$，$EN \perp AB$ 于点 $N$，
　
∴EM = EN.
　
∴∠EMA = ∠ENA = ∠DAB = 90°.
　又
∵EF⊥DE,
∴∠MEN = ∠DEF = 90°.
　
∴∠DEM = ∠FEN.
　
∵∠EMD = ∠ENF = 90°,
　
∴△EMD≌△ENF(ASA).
　
∴ED = EF.
∴矩形DEFG是正方形.
(2)解:
∵四边形DEFG和四边形ABCD 是正方形，
　
∴DG = DE,DC = DA = AB = $3\sqrt{2}$
　
∴∠GDE = ∠ADC = 90°.
　
∴∠ADG = ∠CDE.
　
∴△ADG≌△CDE(SAS).
∴AG = CE.
　
∴AE + AG = AE + CE = AC = $ \sqrt{2}AD = 6$.