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14. 如图,在矩形纸片ABCD中,$AD= 8cm$,$AB= 16cm$,将纸片按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.
答案：
解:$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore ∠A=90^{\circ }.$根据折叠的性质知,$BE=DE,$$\therefore AE=AB-BE=AB-DE.$在$Rt△ADE$中,$DE^{2}=AD^{2}+AE^{2},$即$DE^{2}=8^{2}+(16-DE)^{2},$解得$DE=10(cm).$
15. 如图,长方体盒子的长、宽、高分别是12cm、8cm、18cm.
(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,其中爬行路程最短的是多少厘米？(结果保留根号)
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少厘米？(结果保留根号)
(1)在AB的中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,其中爬行路程最短的是多少厘米？(结果保留根号)
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少厘米？(结果保留根号)
答案：
解:
(1)如图1,将长方体展开,连接$DC$,则$DC$的长就是从$D$处爬到$C$处的最短路程.在$Rt△DAC$中,$AD=12+8=20(cm),$$AC=\frac {1}{2}×18=9(cm)$. 由勾股定理,得$DC=\sqrt {20^{2}+9^{2}}=\sqrt {481}(cm).$$\therefore$ 爬行的最短路程是$\sqrt {481}cm$.
(2)如图2,连接$AG,BG.$在$Rt△BFG$中,由勾股定理,得$GB=\sqrt {GF^{2}+BF^{2}}=\sqrt {12^{2}+8^{2}}=\sqrt {208}(cm).$在$Rt△AGB$中,由勾股定理,得$AG=\sqrt {AB^{2}+GB^{2}}=\sqrt {18^{2}+(\sqrt {208})^{2}}=2\sqrt {133}(cm).$$\therefore$ 能放入木棒的最大长度是$2\sqrt {133}cm$.
(1)如图1,将长方体展开,连接$DC$,则$DC$的长就是从$D$处爬到$C$处的最短路程.在$Rt△DAC$中,$AD=12+8=20(cm),$$AC=\frac {1}{2}×18=9(cm)$. 由勾股定理,得$DC=\sqrt {20^{2}+9^{2}}=\sqrt {481}(cm).$$\therefore$ 爬行的最短路程是$\sqrt {481}cm$.
(2)如图2,连接$AG,BG.$在$Rt△BFG$中,由勾股定理,得$GB=\sqrt {GF^{2}+BF^{2}}=\sqrt {12^{2}+8^{2}}=\sqrt {208}(cm).$在$Rt△AGB$中,由勾股定理,得$AG=\sqrt {AB^{2}+GB^{2}}=\sqrt {18^{2}+(\sqrt {208})^{2}}=2\sqrt {133}(cm).$$\therefore$ 能放入木棒的最大长度是$2\sqrt {133}cm$.
16. 如图,四边形ABCD中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 1$,$BC= 2$,$CD= 2$,$AD= 3$,连接AC.
(1)求AC的长；
(2)判断三角形ACD的形状,并求出四边形ABCD的面积.
(1)求AC的长；
(2)判断三角形ACD的形状,并求出四边形ABCD的面积.
答案：
解:
(1)$\because ∠B=90^{\circ },AB=1,BC=2,$$\therefore$ 在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt {1+4}=\sqrt {5}.$
(2)$\because △ACD$中,$AC=\sqrt {5},CD=2,AD=3,$$\therefore AC^{2}+CD^{2}=5+4=9.$又$\because AD^{2}=9,$$\therefore AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}.$$\therefore △ACD$是直角三角形.$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$=\frac {1}{2}×1×2+\frac {1}{2}×2×\sqrt {5}=1+\sqrt {5}.$
(1)$\because ∠B=90^{\circ },AB=1,BC=2,$$\therefore$ 在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt {1+4}=\sqrt {5}.$
(2)$\because △ACD$中,$AC=\sqrt {5},CD=2,AD=3,$$\therefore AC^{2}+CD^{2}=5+4=9.$又$\because AD^{2}=9,$$\therefore AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}.$$\therefore △ACD$是直角三角形.$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$=\frac {1}{2}×1×2+\frac {1}{2}×2×\sqrt {5}=1+\sqrt {5}.$
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