《2025年湘岳假期暑假作业八年级数学人教版》

18. 已知一次函数 $ y = k x + b $ 的图象经过 $ ( - 1,2 ), ( 2,3 ) $ 两点,求这个一次函数的解析式.

答案： 解：把点$(-1,2)$，$(2,3)$代入一次函数$y=kx+b$，得$\begin{cases}2=-k+b,\\3=2k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=\frac{7}{3}.\end{cases}$$\therefore$一次函数的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$。

19. 如图,过点 $ A $ 的一次函数的图象与正比例函数 $ y = 2 x $ 的图象相交于点 $ B $.
(1)求该一次函数的解析式;
(2)点 $ C ( 4, - 2 ) $ 是否在该函数图象上? 说明理由;
(3)若该一次函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ D $,求 $ \triangle B O D $ 的面积.

答案： 解：
(1)在$y=2x$中，令$x=1$，解得$y=2$，则点$B$的坐标是$(1,2)$。设一次函数的解析式是$y=kx+b$。则$\begin{cases}b=3,\\2=k+b.\end{cases}$解得$\begin{cases}b=3,\\k=-1.\end{cases}$$\therefore$一次函数的解析式是$y=-x+3$。
(2)当$x=4$时，$y=-1$，则$C(4,-2)$不在该函数的图象上。
(3)在$y=-x+3$中，令$y=0$，解得$x=3$。则点$D$的坐标是$(3,0)$。则$S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}OD×2=\frac{1}{2}×3×2=3$。

20. 直线 $ l : y = k x + 6 $ 与 $ x $ 轴,$ y $ 轴分别交于点 $ B, C $,点 $ B $ 的坐标是 $ ( - 8,0 ) $,点 $ A $ 的坐标为 $ ( - 6,0 ) $.
(1)求 $ k $ 的值;
(2)若 $ P ( x, y ) $ 是直线 $ l $ 在第二象限内的一个动点,试写出 $ \triangle O P A $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 的函数解析式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.

答案： 解：
(1)把点$B(-8,0)$代入$y=kx+6$，得$-8k+6=0$，解得$k=\frac{3}{4}$。
(2)$\because$点$P(x,y)$是直线$l$在第二象限内一个动点，$\therefore S_{\triangle OPA}=\frac{1}{2}×6×(\frac{3}{4}x+6)=\frac{9}{4}x+18$。$\because\frac{3}{4}x+6＞0$且$x＜0$，$\therefore-8＜x＜0$。$\therefore S=\frac{9}{4}x+18(-8＜x＜0)$。