《2025年快乐假期暑假作业延边教育出版社八年级数学人教版》

13. 计算下列各题：
（1）$(2\sqrt{12}-\sqrt{2}+3\sqrt{48})×\sqrt{3}$；
（2）$(\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2})$；
（3）$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$.

答案： 1. （1）
先化简根式：
因为$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$。
则$2\sqrt{12}-\sqrt{2}+3\sqrt{48}=2×2\sqrt{3}-\sqrt{2}+3×4\sqrt{3}=4\sqrt{3}-\sqrt{2}+12\sqrt{3}=(4\sqrt{3}+12\sqrt{3})-\sqrt{2}=16\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
再计算乘法：
$(16\sqrt{3}-\sqrt{2})×\sqrt{3}$，根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，这里$a = \sqrt{3}$，$b = 16\sqrt{3}$，$c=-\sqrt{2}$，则$(16\sqrt{3}-\sqrt{2})×\sqrt{3}=16\sqrt{3}×\sqrt{3}-\sqrt{2}×\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a(a\geq0)$，所以$16\sqrt{3}×\sqrt{3}=16×3 = 48$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$。
所以$(2\sqrt{12}-\sqrt{2}+3\sqrt{48})×\sqrt{3}=48-\sqrt{6}$。
2. （2）
变形：
令$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，则$(\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2})=[a - b][a + b]$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$，$b^{2}=(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}$。
再根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$（$m=\sqrt{5}$，$n=\sqrt{2}$），$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=5 - 2\sqrt{10}+2=7 - 2\sqrt{10}$。
计算：
所以$(\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}=3-(7 - 2\sqrt{10})$。
$3-(7 - 2\sqrt{10})=3 - 7+2\sqrt{10}=2\sqrt{10}-4$。
3. （3）
计算$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$：
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$，则$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$。
根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$（$m=\sqrt{3}$，$n = 1$），$(\sqrt{3}+1)^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}×1+1^{2}=3 + 2\sqrt{3}+1=4 + 2\sqrt{3}$；根据平方差公式$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3 - 1 = 2$。
所以$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$。
计算$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$：
根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$（$m = 3\sqrt{2}$，$n = 2\sqrt{3}$），$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})=(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}$。
$(3\sqrt{2})^{2}=9×2 = 18$，$(2\sqrt{3})^{2}=4×3 = 12$，所以$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})=18 - 12=6$。
计算原式：
$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})=(2+\sqrt{3})-6$。
$=2+\sqrt{3}-6=\sqrt{3}-4$。
综上，（1）$48-\sqrt{6}$；（2）$2\sqrt{10}-4$；（3）$\sqrt{3}-4$。

14. 设$a$，$b$，$c$是实数，若$a+b+c=2\sqrt{a+1}+4\sqrt{b+1}+6\sqrt{c-2}-14$，求$a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)$的值.

答案： 解：
已知$a + b + c = 2\sqrt{a + 1}+4\sqrt{b + 1}+6\sqrt{c - 2}-14$，
移项可得$(a + 1)-2\sqrt{a + 1}+(b + 1)-4\sqrt{b + 1}+(c - 2)-6\sqrt{c - 2}+14 - 1 - 1 + 2 = 0$，
即$(\sqrt{a + 1})^2-2\sqrt{a + 1}+1+(\sqrt{b + 1})^2-4\sqrt{b + 1}+4+(\sqrt{c - 2})^2-6\sqrt{c - 2}+9 = 0$。
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2$，可得$(\sqrt{a + 1}-1)^2+(\sqrt{b + 1}-2)^2+(\sqrt{c - 2}-3)^2 = 0$。
因为一个数的平方是非负的，要使三个平方数的和为$0$，则$\sqrt{a + 1}-1 = 0$，$\sqrt{b + 1}-2 = 0$，$\sqrt{c - 2}-3 = 0$。
解得$\sqrt{a + 1}=1$，$a = 0$；$\sqrt{b + 1}=2$，$b = 3$；$\sqrt{c - 2}=3$，$c = 11$。
将$a = 0$，$b = 3$，$c = 11$代入$a(b + c)+b(c + a)+c(a + b)$可得：
$0×(3 + 11)+3×(11 + 0)+11×(0 + 3)$
$=0 + 3×11+11×3$
$=33+33$
$=66$。
所以$a(b + c)+b(c + a)+c(a + b)$的值为$66$。

早晨，小猴把一天要吃的桃，按早、中、晚三餐依次放在三个盘子里.看了看，觉得晚餐太多，早餐太少.于是，他从第一个盘里拿了2个桃放在第二个盘里，又从第二个盘里拿了3个桃放在第三个盘里，再从第三个盘里拿了5个桃放在第一个盘里.这时三个盘里各有6个桃.小猴满意地笑了.
想一想：小猴第一次分桃时，早、中、晚三餐各分得多少个桃？

答案： 【解析】：我们可以采用倒推的方法来计算。最后三个盘里各有6个桃。对于第一个盘子，它是在得到第三个盘子给的5个桃后才有6个，那么在这之前第一个盘子有6 - 5 = 1个桃，而这1个桃是它拿出2个桃给第二个盘子后的数量，所以原来第一个盘子有1 + 2 = 3个桃；对于第二个盘子，它先得到第一个盘子给的2个桃，又拿出3个桃给第三个盘子后有6个桃，那么原来第二个盘子有6 - 2 + 3 = 7个桃；对于第三个盘子，它得到第二个盘子给的3个桃，又拿出5个桃给第一个盘子后有6个桃，那么原来第三个盘子有6 - 3 + 5 = 8个桃。
【答案】：早餐3个，中餐7个，晚餐8个