《2025年快乐假期暑假作业延边教育出版社八年级数学人教版》

11. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 4，$MN// BC$ 分别交 $AB$，$CD$ 于点 $M$，$N$，在 $MN$ 上任取两点 $P$，$Q$，那么图中阴影部分的面积是______8。

答案： 8

12. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $O$ 是对角线 $AC$，$BD$ 的交点，过点 $O$ 作 $OE\perp OF$，分别交 $AB$，$BC$ 于点 $E$，$F$。若 $AE = 4$，$CF = 3$，则 $EF$ 等于5。

答案： 5

13. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 为 $BC$ 边上一点，以 $AB$，$BD$ 为邻边作 $□ ABDE$，连接 $AD$，$EC$。
（1）求证：$\triangle ADC\cong\triangle ECD$；设法证$AC=ED$，再证$\triangle ADC\cong\triangle ECD$。
（2）若 $BD = CD$，求证：四边形 $ADCE$ 是矩形。先证四边形$ADCE$为平行四边形，再由$AC=DE$，证得$□ ADCE$是矩形。

答案： 提示：
(1)设法证$AC=ED$，再证$\triangle ADC\cong\triangle ECD$。
(2)先证四边形$ADCE$为平行四边形，再由$AC=DE$，证得$\square ADCE$是矩形。

14. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$\angle BDC = 90^{\circ}$，点 $E$ 为 $BC$ 上一点，$\angle BDE=\angle DBC$。
（1）求证：$DE = EC$；
证明：设法证$\angle CDE=\angle C$，得到$DE=EC$。
（2）若 $AD=\frac{1}{2}BC$，试判断四边形 $ABED$ 的形状，并说明理由。
解：四边形 $ABED$ 的形状是菱形，理由：先证四边形$ABED$为平行四边形，再设法证$BE=DE$，即平行四边形$ABED$是菱形。

答案： 提示：
(1)设法证$\angle CDE=\angle C$，得到$DE=EC$。
(2)提示：先证四边形$ABED$为平行四边形，再设法证$BE=DE$，即平行四边形$ABED$是菱形。