《2025年快乐假期暑假作业延边教育出版社八年级数学人教版》

12. 如图，$AC$是菱形$ABCD$的对角线，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AD$上，且$AE = AF$.
求证：$\triangle ACE\cong\triangle ACF$.

证明：∵四边形$ABCD$是菱形，$AC$是对角线，
∴∠CAE=∠CAF.
在$\triangle ACE$和$\triangle ACF$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF,\\ ∠CAE=∠CAF,\\ AC=AC,\end{array}\right.$
∴$\triangle ACE\cong\triangle ACF$（SAS）.

答案： 提示：由菱形的对角线平分对角，有∠CAE=∠CAF，再证△ACE≌△ACF(SAS)。

13. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$D$是斜边$AB$的中点，$DE\perp AC$，垂足为点$E$. 若$DE = 2$，$CD = 2\sqrt{5}$，求$BC$的长.

$BC=$4

答案： BC=4

14. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = BC$，对角线$BD$平分$\angle ABC$，点$P$是$BD$上一点，过点$P$作$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，垂足分别为点$M$，$N$.
（1）求证：$\angle ADB = \angle CDB$；
证明：证△ABD≌△CBD(SAS)，得到∠ADB=∠CDB
（2）若$\angle ADC = 90^{\circ}$，求证：四边形$MPND$是正方形.
证明：先证四边形MPND是矩形，再证PM=PN，即四边形MPND是正方形

答案： 提示：
(1)证△ABD≌△CBD(SAS)，得到∠ADB=∠CDB。
(2)先证四边形MPND是矩形，再证PM=PN，即四边形MPND是正方形。