《2025年快乐假期暑假作业延边教育出版社八年级数学人教版》

11. 写出下列命题的逆命题，并判断正误。
（1）全等三角形的面积相等；
（2）如果一个三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等；
（3）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
（4）成轴对称的两个图形是全等图形。

答案：
(1)面积相等的三角形是全等三角形.
(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等.
(3)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
(4)如果两个图形是全等图形,那么这两个图形成轴对称.
其中
(1)
(4)是假命题,
(2)
(3)是真命题.

12. 如图，$\triangle ABC,\triangle ECD$均为等腰直角三角形，$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，点$D$为$AB$边上一点，求证：
（1）$\triangle ACE\cong\triangle BCD$；
证明：因为$\triangle ABC,\triangle ECD$均为等腰直角三角形，所以$AC=BC$，$EC=DC$，又因为$\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCD=\angle ACD+\angle ACE$，即$\angle BCD=\angle ACE$，根据SAS可证$\triangle ACE\cong\triangle BCD$。
（2）$AD^{2}+AE^{2}=DE^{2}$。
证明：由（1）知$\triangle ACE\cong\triangle BCD$，所以$AE=BD$，$\angle CAE=\angle CBD$，因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$\angle CAB=\angle CBA=45^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle CAB+\angle CAE=45^{\circ}+\angle CBD=45^{\circ}+45^{\circ}=$$\angle DAE=90^{\circ}$，在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理可得$AD^{2}+AE^{2}=DE^{2}$。

答案： 提示:
(1)$\angle ACD+\angle BCD=\angle ACD+\angle ACE$.
(2)证$\angle DAE=90^{\circ}$.