《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

23. 已知$m + 1= \sqrt{2}$,求$\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m^{2}}-2}$的值。

答案： 【解析】：
1. 首先，对$\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m^{2}} - 2}$进行化简：
根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}-2=(m-\frac{1}{m})^{2}$，所以$\sqrt{m^{2}+\frac{1}{m^{2}} - 2}=\sqrt{(m - \frac{1}{m})^{2}}=\vert m-\frac{1}{m}\vert$。
2. 然后，由$m + 1=\sqrt{2}$，可得$m=\sqrt{2}-1$：
求$\frac{1}{m}$的值，$\frac{1}{m}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，根据分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}+1$，则$\frac{1}{m}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = \sqrt{2}$，$b = 1$，所以$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2 - 1 = 1$，那么$\frac{1}{m}=\sqrt{2}+1$。
3. 接着，计算$m-\frac{1}{m}$的值：
把$m=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{m}=\sqrt{2}+1$代入$m-\frac{1}{m}$，得$m-\frac{1}{m}=(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1=-2$。
4. 最后，求$\vert m-\frac{1}{m}\vert$的值：
因为$m-\frac{1}{m}=-2$，所以$\vert m-\frac{1}{m}\vert=\vert - 2\vert = 2$。
【答案】：2