《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

21. 数学课上,张老师提出了问题:如图1-4-22①,四边形ABCD是正方形,E是边BC的中点,∠AEF= 90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE= EF。
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM= EC,易证△AME≌△ECF,所以AE= EF。
在此基础上,同学们做了进一步研究:
(1)小颖提出:如图1-4-22②,如果把“E是边BC的中点”改为“E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE= EF”仍然成立。你认为小颖的观点正确吗? 如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。
(2)小华提出:如图1-4-22③,E是BC延长线上(除点C外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE= EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗? 如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。

答案：
解:
(1)正确。证明如下:
如图,在AB上取一点M,使AM = EC,连接ME。

∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = BC,∠B = ∠BCD = 90°,
∴ AB - AM = BC - EC,
∴ BM = BE,
∴ ∠BME = 45°,
∴ ∠AME = 135°。
∵ CF是∠DCG的平分线,
∴ ∠DCF = 45°,
∴ ∠ECF = 135°,
∴ ∠AME = ∠ECF。
∵ ∠B = ∠AEF = 90°,
∴ ∠AEB + ∠BAE = 90°,∠AEB + ∠CEF = 90°,
∴ ∠BAE = ∠CEF,
∴ △AME ≌ △ECF(ASA),
∴ AE = EF。
(2)正确。证明如下:
如图,在BA的延长线上取一点N,使AN = CE,连接NE。

∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = BC,∠B = ∠DCG = 90°,
∴ AB + AN = BC + CE,即BN = BE,
又CF是∠DCG的平分线,
∴ ∠N = ∠FCE = 45°。
∵ AD // BE,
∴ ∠DAE = ∠BEA,
∴ ∠DAE + ∠NAD = ∠BEA + ∠AEF,
即 ∠NAE = ∠CEF,
∴ △ANE ≌ △ECF(ASA),
∴ AE = EF。