《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

20. 小东在学习了$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a}{b}}$后,认为$\sqrt{\frac{a}{b}}= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$也成立,因此他认为下面的化简过程是正确的：
$\sqrt{\frac{-20}{-5}}= \frac{\sqrt{-20}}{\sqrt{-5}}= \frac{\sqrt{-5× 4}}{\sqrt{-5}}= \frac{\sqrt{-5}\cdot \sqrt{4}}{\sqrt{-5}}= \sqrt{4}= 2$。
(1) 你认为上面的化简过程对吗？说明理由。如果不对,应怎么化简？
(2) 说明$\sqrt{\frac{a}{b}}= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件。

答案： 【解析】：1. 对于（1），二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。在$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$中，$a\geqslant0$且$b ＞ 0$，而在$\frac{\sqrt{-20}}{\sqrt{-5}}$中，$-20＜0$，$-5＜0$，不满足二次根式有意义的条件，所以原化简过程不对。正确化简$\sqrt{\frac{-20}{-5}}$，先计算$\frac{-20}{-5}=4$，再根据算术平方根的定义，$\sqrt{4} = 2$。
2. 对于（2），要使$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立，在$\sqrt{a}$中$a\geqslant0$，在$\sqrt{b}$中$b＞0$（因为分母不能为$0$），所以成立的条件是$a\geqslant0$，$b ＞ 0$。
【答案】：1. 不对，理由：在$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$中，要求$a\geqslant0$，$b ＞ 0$，而在$\frac{\sqrt{-20}}{\sqrt{-5}}$中，$-20＜0$，$-5＜0$，不满足二次根式有意义的条件。正确化简为$\sqrt{\frac{-20}{-5}}=\sqrt{4}=2$。 2. $a\geqslant0$，$b ＞ 0$

21. 已知$m是\sqrt{13}$的整数部分,$n是\sqrt{13}$的小数部分,求$\frac{m - n}{m + n}$的值。

答案： 【解析】：
因为$9\lt13\lt16$，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{13}\lt4$。
所以$\sqrt{13}$的整数部分$m = 3$。
因为一个数等于它的整数部分加上它的小数部分，所以$\sqrt{13}=m + n$，那么$\sqrt{13}$的小数部分$n=\sqrt{13}-3$。
将$m = 3$，$n=\sqrt{13}-3$代入$\frac{m - n}{m + n}$可得：
$\begin{aligned}\frac{m - n}{m + n}&=\frac{3-(\sqrt{13}-3)}{3+(\sqrt{13}-3)}\\&=\frac{3 - \sqrt{13}+3}{3+\sqrt{13}-3}\\&=\frac{6 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}}\\&=\frac{(6 - \sqrt{13})\times\sqrt{13}}{\sqrt{13}\times\sqrt{13}}\\&=\frac{6\sqrt{13}-13}{13}\end{aligned}$
【答案】：$\frac{6\sqrt{13}-13}{13}$

22. 小明在解决问题“已知$a= \frac{1}{2+\sqrt{3}}$,求$2a^{2}-8a + 1$的值”时,是这样解的：
解：$\because a= \frac{1}{2+\sqrt{3}}= \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}= 2-\sqrt{3}$,
$\therefore a - 2= -\sqrt{3}$,
$\therefore (a - 2)^{2}= 3$,$a^{2}-4a + 4= 3$,
$\therefore a^{2}-4a= -1$,
$\therefore 2a^{2}-8a + 1= 2(a^{2}-4a)+1= 2× (-1)+1= -1$。
请你根据小明的求解过程,解决如下问题：
(1) 化简：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$；
(2) 若$a= \frac{1}{\sqrt{2}-1}$,求$4a^{2}-8a + 1$的值。

答案： 【解析】：
1. 对于$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$：
先对每一项进行分母有理化，$\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，则$(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})=(\sqrt{n + 1})^{2}-(\sqrt{n})^{2}=n + 1 - n = 1$，所以$\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$。
那么原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})$。
去括号后$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{100}-\sqrt{99}$，中间项相互抵消，最后剩下$\sqrt{100}-1=10 - 1 = 9$。
2. 对于$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求$4a^{2}-8a + 1$的值：
先对$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$进行分母有理化，$a=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$，根据平方差公式$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2 - 1 = 1$，所以$a=\sqrt{2}+1$。
则$a - 1=\sqrt{2}$，两边平方得$(a - 1)^{2}=2$，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，即$a^{2}-2a + 1 = 2$，所以$a^{2}-2a=1$。
对$4a^{2}-8a + 1$变形可得$4(a^{2}-2a)+1$，把$a^{2}-2a = 1$代入得$4\times1+1=5$。
【答案】：1. $9$ 2. $5$