《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

19. 经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树的主干在地面以上$1.3m$处的直径)越大,树就越高。对某种树进行测量研究,发现这种树的树高$y(m)是其胸径x(m)$的一次函数。已知这种树的胸径为$0.2m$时,树高为$20m$；这种树的胸径为$0.28m$时,树高为$22m$。
(1)求$y与x$之间的函数表达式；
(2)当这种树的胸径为$0.3m$时,其树高是多少？

答案： 解:
(1)设y=kx+b(k≠0),
根据题意,得$\begin{cases}0.2k+b=20,\\0.28k+b=22,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=25,\\b=15,\end{cases}$
∴y关于x的函数表达式为y=25x+15。
(2)当x=0.3时,y=25×0.3+15=22.5,
∴当这种树的胸径为0.3m时,其树高为22.5m。

20. 如图1-5-7,直线$AB:y= -x+b分别与x$,$y轴交于A(6,0)$,$B$两点,过点$B的直线交x轴负半轴于C$,且$OB:OC= 3:1$。

(1)求点$B$的坐标；
(2)求直线$BC$的解析式；
(3)直线$EF的解析式为y= x$,直线$EF交AB于点E$,交$BC于点F$,求证：$S_{\triangle EBO}= S_{\triangle FBO}$。

答案：
(1)解:把A(6,0)代入y=-x+b得-6+b=0,解得b=6,
∴直线AB的解析式为y=-x+6,
当x=0时,y=-x+6=6,
∴点B的坐标为(0,6)。
(2)解:
∵OB:OC=3:1,
又OB=6,
∴OC=2,
∴点C的坐标为(-2,0),
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),
把B(0,6),C(-2,0)分别代入得$\begin{cases}n=6,\\-2m+n=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3,\\n=6,\end{cases}$
∴直线BC的解析式为y=3x+6。
(3)证明:解方程组$\begin{cases}y=x,\\y=-x+6,\end{cases}$得$\begin{cases}x=3,\\y=3,\end{cases}$则E(3,3)。
解方程组$\begin{cases}y=x,\\y=3x+6,\end{cases}$得$\begin{cases}x=-3,\\y=-3,\end{cases}$则F(-3,-3)。
∵S_{△EBO}=$\frac{1}{2}$×6×3=9,
S_{△FBO}=$\frac{1}{2}$×6×3=9,
∴S_{△EBO}=S_{△FBO}。