《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

18. 如图1-4-19,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG,垂足为E,BF//DE交AG于F,探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由。

答案： 解:线段AF,BF,EF三者之间的数量关系为AF = BF + EF,理由如下:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = AD,∠DAB = ∠ABC = 90°。
∵ DE ⊥ AG,垂足为E,
BF // DE交AG于F,
∴ ∠AED = ∠DEF = ∠AFB = 90°,
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°,∠DAE + ∠BAF = 90°,
∴ ∠ADE = ∠BAF。
在△ABF和△DAE中,
$\begin{cases} ∠AFB = ∠DEA, \\ ∠BAF = ∠ADE, \\ AB = DA, \end{cases}$
∴ △ABF ≌ △DAE(AAS),
∴ BF = AE,
∴ AF = AE + EF = BF + EF。

19. 如图1-4-20,在△ABC中,∠ACB= 90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE的延长线上,且AF= CE。
(1)四边形ACEF是平行四边形吗? 说明理由;
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF为菱形? 请说明你的结论;
(3)四边形ACEF有可能是正方形吗? 为什么?

答案： 解:
(1)四边形ACEF是平行四边形。理由如下:
∵ DE垂直平分BC,
∴ ∠BDE = 90°,∠BED = ∠CED。
∵ ∠ACB = 90°,
∴ DF // AC,
∴ BE = AE = CE。
∵ AF = CE,
∴ AE = AF,
∴ ∠F = ∠AEF。
∵ ∠FEA = ∠BED,
∴ ∠F = ∠CED,
∴ AF // CE,又AF = CE,
∴ 四边形ACEF是平行四边形。
(2)当∠B = 30°时,四边形ACEF是菱形。理由如下:
∵ ∠B = 30°,
∴ ∠BAC = 60°。
∵ AE = CE,
∴ △AEC是等边三角形,
∴ AC = CE,
∴ 平行四边形ACEF为菱形。
(3)四边形ACEF不可能是正方形。理由如下:
若四边形ACEF为正方形,
则 ∠ACE = 90°,
而 ∠ACE ＜ ∠ACB,
即 ∠ACE ＜ 90°,
∴ 四边形ACEF不可能是正方形。

20. 我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形。
(1)如图1-4-21①,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点。求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图1-4-21②,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA= PB,PC= PD,∠APB= ∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB= ∠CPD= 90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状。(不必证明)

答案：

(1)证明:如图,连接BD。

∵ 点E,H分别为边AB,DA的中点,
∴ EH // BD,EH = $\frac{1}{2}$BD。
∵ 点F,G分别为边BC,CD的中点,
∴ FG // BD,FG = $\frac{1}{2}$BD,
∴ EH // FG,EH = GF,
∴ 中点四边形EFGH是平行四边形。
(2)四边形EFGH是菱形。
证明:如图,连接AC,BD交于点O。

∵ ∠APB = ∠CPD,
∴ ∠APB + ∠APD = ∠CPD + ∠APD,
即 ∠APC = ∠BPD。
在△APC和△BPD中,
$\begin{cases} AP = BP, \\ ∠APC = ∠BPD, \\ PC = PD, \end{cases}$
∴ △APC ≌ △BPD(SAS),
∴ AC = BD。
∵ 点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,
∴ EF = $\frac{1}{2}$AC,FG = $\frac{1}{2}$BD,
∴ EF = FG。
∵ 四边形EFGH是平行四边形,
∴ 四边形EFGH是菱形。
(3)四边形EFGH是正方形。
证明:如图,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N。
∵ △APC ≌ △BPD,
∴ ∠ACP = ∠BDP。
∵ 在△DOM和△CPM中,
∠DMO = ∠CMP,
∴ ∠COD = ∠CPD = 90°。
∵ EH // BD,AC // HG,
∴ ∠EHG = ∠ENO = ∠BOC = ∠DOC = 90°。
∵ 四边形EFGH是菱形,
∴ 四边形EFGH是正方形。