《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

18. 已知$a$,$b$在数轴上的位置如图 1 - 1 - 3 所示,化简：$\sqrt{(a + 2)^{2}}-\sqrt{(b - 2)^{2}}+\sqrt{(a + b)^{2}}$。

答案： 【解析】：
本题可先根据$a$、$b$在数轴上的位置判断$a + 2$、$b - 2$、$a + b$的正负性，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\-x(x\lt0)\end{cases}$进行化简。
### 步骤一：判断$a + 2$、$b - 2$、$a + b$的正负性
由数轴可知$1\lt a\lt2$，$b\lt - 2$。
对于$a + 2$：因为$1\lt a\lt2$，所以$a + 2\gt0$。
对于$b - 2$：因为$b\lt - 2$，所以$b - 2\lt0$。
对于$a + b$：因为$1\lt a\lt2$，$b\lt - 2$，所以$\vert b\vert\gt\vert a\vert$，则$a + b\lt0$。
### 步骤二：根据二次根式的性质化简原式
根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\-x(x\lt0)\end{cases}$对原式进行化简：
$\sqrt{(a + 2)^{2}}-\sqrt{(b - 2)^{2}}+\sqrt{(a + b)^{2}}$
$=\vert a + 2\vert-\vert b - 2\vert+\vert a + b\vert$
因为$a + 2\gt0$，所以$\vert a + 2\vert=a + 2$；
因为$b - 2\lt0$，所以$\vert b - 2\vert=-(b - 2)=2 - b$；
因为$a + b\lt0$，所以$\vert a + b\vert=-(a + b)=-a - b$。
将上述结果代入原式可得：
$\vert a + 2\vert-\vert b - 2\vert+\vert a + b\vert=(a + 2)-(2 - b)+(-a - b)$
去括号：$a + 2 - 2 + b - a - b$
合并同类项：$(a - a)+(b - b)+(2 - 2)=0$
【答案】：$0$

19. 通过观察回答问题：
| $a$ | …$$ | $0.0001$ | $0.01$ | $1$ | $100$ | $10000$ | …$$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sqrt{a}$ | …$$ | $0.01$ | $x$ | $1$ | $y$ | $100$ | …$$ |
(1) 表格中$x= $______,$y= $______；
(2) 从表格中探究$a与\sqrt{a}$数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题：
① 已知$\sqrt{10}\approx 3.16$,则$\sqrt{1000}\approx$______；
② 已知$\sqrt{m}= 8.973$,若$\sqrt{b}= 897.3$,用含$m的式子表示b$,则$b= $______；
(3) 试比较$\sqrt{a}与a$的大小。

答案： 【解析】：
1. 对于（1），根据算术平方根的定义，若$x^{2}=a$（$x\geq0$），则$x = \sqrt{a}$。因为$0.1^{2}=0.01$，所以$x = 0.1$；因为$10^{2}=100$，所以$y = 10$。
2. 对于（2）：
① 观察表格可得规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动$2$位，其算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动$1$位。因为$1000 = 10\times100$，$\sqrt{10}\approx3.16$，$1000$是$10$的小数点向右移动$2$位得到的，所以$\sqrt{1000}\approx31.6$。
② 已知$\sqrt{m}=8.973$，$\sqrt{b}=897.3$，$897.3$是$8.973$的小数点向右移动$2$位得到的，根据上述规律可知$b$是$m$的小数点向右移动$4$位得到的，所以$b = 10000m$。
3. 对于（3），分三种情况讨论$\sqrt{a}$与$a$的大小关系：
当$a = 0$或$a = 1$时，$\sqrt{0}=0$，$\sqrt{1}=1$，此时$\sqrt{a}=a$。
当$0\lt a\lt1$时，例如$a = 0.01$，$\sqrt{0.01}=0.1$，$0.1\gt0.01$，所以$\sqrt{a}\gt a$。
当$a\gt1$时，例如$a = 100$，$\sqrt{100}=10$，$10\lt100$，所以$\sqrt{a}\lt a$。
【答案】：1. $0.1$，$10$ 2. ① $31.6$ ② $10000m$ 3. 当$a = 0$或$a = 1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0\lt a\lt1$时，$\sqrt{a}\gt a$；当$a\gt1$时，$\sqrt{a}\lt a$