《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

22. 如图 1 - 2 - 15,$∠BAC = 30^{\circ}$,$E为射线AB$上一个动点,$F为射线AC$上一个动点,$AD = 6$,求$DE + EF$的最小值。

答案：
解:如图,作$AD$关于$AB$的对称线段$AD'$,作$D'F\perp AC$,垂足为$F$,交$AB$于点$E$,则$D'F$的长为$EF + DE$的最小值。

$\because AD = AD' = 6$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,
$\therefore \angle D'AD = 60^{\circ}$,
$\therefore \triangle ADD'$为等边三角形。
又$\because AD = 6$,$\therefore AF = 3$,
$\therefore$在$Rt\triangle AD'F$中,$D'F=\sqrt{D'A^{2}-AF^{2}}=3\sqrt{3}$。
故$DE + EF$的最小值为$3\sqrt{3}$。

23. 【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式。两个边长分别为$a$,$b的直角三角形和一个两条直角边都是c$的直角三角形拼成如图 1 - 2 - 16①所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积。
(1)方法一可表示为______；
方法二可表示为______。
(2)根据方法一和方法二,你能得出$a$,$b$,$c$之间的数量关系是______。(等式的两边需写成最简形式)
(3)由上可知,一直角三角形的两条直角边长为 6 和 8,则其斜边长为______。
【知识迁移】不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式。图 1 - 2 - 16②是棱长为$a + b$的正方体,被如图 1 - 2 - 16②所示的分割线分成 8 块。
(4)用不同方法计算这个正方体体积,就可以得到一个等式,这个等式可以为______。(等号两边需化为最简形式)
(5)已知$2m - n = 4$,$mn = 2$,利用上面的规律求$8m^{3}-n^{3}$的值。

答案： 解:
(1)方法一可表示为$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$;
方法二可表示为$\frac{1}{2}(a + b)^{2}$。
故答案为$ab+\frac{1}{2}c^{2}$;$\frac{1}{2}(a + b)^{2}$。
(2)$\because \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$,
$\frac{1}{2}(a + b)^{2}=ab+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$,
$\therefore ab+\frac{1}{2}c^{2}=ab+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$,
$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}$。
故答案为$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。
(3)$\because c^{2}=a^{2}+b^{2}=8^{2}+6^{2}=100$,
$\therefore c = 10$。
故答案为$10$。
(4)方法一可表示为$(a + b)^{3}$,
方法二可表示为$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$。
$\therefore$等式为$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$。
故答案为$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$。
(5)由
(4)可得
$(2m - n)^{3}=8m^{3}-12m^{2}n+6mn^{2}-n^{3}=8m^{3}-n^{3}-6mn(2m - n)$,
$\because 2m - n = 4$,$mn = 2$,
$\therefore 64 = 8m^{3}-n^{3}-6\times 2\times 4$,
$\therefore 8m^{3}-n^{3}=64 + 48 = 112$。