《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

18. 如图1-3-18,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,AD//BC,AC= 8,BD= 6。
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD,求□ABCD的面积。

答案：
(1)证明:
∵O是AC的中点，
∴OA=OC。
∵AD//BC,
∴∠ADO=∠CBO。
在△AOD和△COB中，
{∠ADO=∠CBO,
∠AOD=∠COB,
OA=OC,
∴△AOD≌△COB(AAS),
∴OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形。
(2)解:
∵AC⊥BD,AC=8,BD=6,
∴S_{□ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=$\frac{1}{2}$BD·AO + $\frac{1}{2}$BD·CO=$\frac{1}{2}$BD(AO + CO)=$\frac{1}{2}$BD·AC =24。

19. 如图1-3-19,在□ABCD中,∠ADC,∠DAB的平分线DF,AE分别与线段BC相交于点F,E,DF与AE相交于点G。
(1)求证：AE⊥DF；
(2)若AD= 10,AB= 6,AE= 4,求DF的长。

答案：

(1)证明:在□ABCD中,AB//CD,
∴∠ADC + ∠DAB=180°。
∵DF,AE分别是∠ADC,∠DAB的平分线，
∴∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC,∠DAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠DAB,
∴∠ADF + ∠DAE=$\frac{1}{2}$(∠ADC + ∠DAB)=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AE⊥DF。
(2)解:如图,过点D作DH//AE,交BC的延长线于点H,

则四边形AEHD是平行四边形，且FD ⊥DH。
∴DH=AE=4,EH=AD=10。
在□ABCD中,AD//BC,
∴∠ADF=∠CFD,∠DAE=∠BEA,
∵DF,AE分别是∠ADC,∠DAB的平分线，
∴∠CDF=∠CFD,∠BAE=∠BEA,
∴DC=FC,AB=EB。
在□ABCD中,AD=BC=10,AB=DC=6,
∴CF=BE=6,BF=BC−CF=10−6=4。
∴FE=BE−BF=6−4=2,
∴FH=FE+EH=12,
在Rt△FDH中,DF= $\sqrt{FH²−DH²}$=$\sqrt{12²−4²}$=8√2。