《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

2. 阅读与计算：请阅读以下材料,并完成相应的任务。
斐波那契(约 1170—约 1250 年)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)。后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果。在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰好是斐波那契数列中的数。斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用。
斐波那契数列中的第$n个数可以用\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]$表示(其中,$n\geqslant 1$),这是用无理数表示有理数的一个范例。
任务：请根据以上材料,求出斐波那契数列中的第 1 个数和第 2 个数。

答案： 解：第 1 个数，当 $ n = 1 $ 时，
$\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)\\=&\frac{1}{\sqrt{5}} \times \sqrt{5}\\=&1\end{aligned}$
第 2 个数，当 $ n = 2 $ 时，
$\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]\\=&\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right]\\=&\frac{1}{\sqrt{5}} \times \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)\\=&1\end{aligned}$

1. 下列说法中正确的是 ()
A. 带根号的数都是无理数
B. 实数都是有理数
C. 有理数都是实数
D. 无理数都是开方开不尽的数

答案： C

2. 若代数式$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$有意义,则$x$的取值范围是 ()
A. $x＞1且x\neq 2$
B. $x\geqslant 1$
C. $x\neq 2$
D. $x\geqslant 1且x\neq 2$

答案： D

3. 方程$\sqrt{2x - 3}= 1$的解为 ()
A. $x = 1$
B. $x = 2$
C. $x = - 2$
D. $x = 4$

答案： B

4. 下列运算正确的是 ()
A. $\sqrt{5}-\sqrt{3}= \sqrt{2}$
B. $\sqrt{4\frac{1}{9}}= 2\frac{1}{3}$
C. $\sqrt{8}-\sqrt{2}= \sqrt{2}$
D. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}= 2-\sqrt{5}$

答案： C