《2025年暑假作业与生活陕西师范大学出版总社有限公司八年级数学人教版》

24. (10分)如图2-12,在平面直角坐标系内,点A的坐标为(0,24),经过原点的直线$l_{1}$与经过点A的直线$l_{2}$相交于点B,点B的坐标为(18,6)。
(1)求直线$l_{1}$,$l_{2}$的表达式；
(2)点C为线段OB上一动点(点C不与点O,B重合),作CD//y轴交直线$l_{2}$于点D,设点C的纵坐标为a,求点D的坐标(用含a的式子表示)。

答案： 解：
(1) 设直线 $ l_1 $ 的表达式为 $ y = k_1x $，
由题意，得 $ 18k_1 = 6 $，解得 $ k_1 = \frac{1}{3} $，
$ \therefore $ 直线 $ l_1 $ 的表达式为 $ y = \frac{1}{3}x $。
设直线 $ l_2 $ 的表达式为 $ y = k_2x + b $，
由题意，得 $ \begin{cases} b = 24, \\ 18k_2 + b = 6, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k_2 = -1, \\ b = 24, \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ l_2 $ 的表达式为 $ y = -x + 24 $。
(2) $ \because $ 点 $ C $ 在直线 $ l_1 $ 上，且点 $ C $ 的纵坐标为 $ a $，
$ \therefore a = \frac{1}{3}x $，则 $ x = 3a $，
$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (3a, a) $。
$ \because CD // y $ 轴，
$ \therefore $ 点 $ D $ 的横坐标为 $ 3a $。
$ \because $ 点 $ D $ 在直线 $ l_2 $ 上，
$ \therefore y = -3a + 24 $，
$ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (3a, -3a + 24) $。

25. (10分)如图2-13,在菱形ABCD中,AB= 4,∠BAD= 120°,△AEF为等边三角形,点E,F分别在菱形的边BC,CD上滑动,且E,F不与B,C,D重合。
(1)证明：不论E,F在BC,CD上如何滑动,总有BE= CF；
(2)当点E,F在BC,CD上滑动时,分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化。如果不变,求出这个定值；如果变化,求出最小值。

答案：

(1) 证明：如图，连接 $ AC $。

$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为菱形，$ \angle BAD = 120^\circ $，
$ \therefore \angle BAC = 60^\circ $。
$ \because \triangle AEF $ 是等边三角形，
$ \therefore \angle EAF = 60^\circ $，
$ \therefore \angle 1 + \angle EAC = 60^\circ, \angle 2 + \angle EAC = 60^\circ $，
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $。
$ \because \angle BAD = 120^\circ $，
$ \therefore \angle ABC = 60^\circ $，
$ \therefore \triangle ABC $ 和 $ \triangle ACD $ 为等边三角形，
$ \therefore \angle 3 = \angle ABC = 60^\circ, AC = AB $，
$ \therefore $ 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle ACF $ 中，
$ \begin{cases} \angle 1 = \angle 2, \\ AB = AC, \\ \angle ABC = \angle 3, \end{cases} $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ACF (ASA) $，
$ \therefore BE = CF $。
(2) 解：四边形 $ AECF $ 的面积不变，$ \triangle CEF $ 的周长发生变化。理由如下：
由
(1)得 $ \triangle ABE \cong \triangle ACF $，
则 $ S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ACF} $，
故 $ S_{\text{四边形}AECF} = S_{\triangle AEC} + S_{\triangle ACF} = S_{\triangle AEC} + S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABC} $，四边形 $ AECF $ 的面积是定值。
如图，作 $ AH \perp BC $，垂足为 $ H $，则 $ BH = 2 $，
$ S_{\text{四边形}AECF} = S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}BC \cdot \sqrt{AB^2 - BH^2} = 4\sqrt{3} $。
$ \triangle CEF $ 的周长 $ = CE + CF + EF = CE + BE + EF = BC + EF = BC + AE $，
由“垂线段最短”可知：当等边三角形 $ AEF $ 的边 $ AE $ 与 $ BC $ 垂直时，边 $ AE $ 最短。
故 $ \triangle CEF $ 的周长会随着 $ AE $ 的变化而变化，且当 $ AE $ 最短时，$ \triangle CEF $ 的周长最小，最小值为 $ 4 + \sqrt{AB^2 - BH^2} = 4 + 2\sqrt{3} $。