《2025年暑假生活八年级数学人教版北京教育出版社》

9. 把直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍,则其斜边扩大到原来的 ()

A.2倍
B.4倍
C.3倍
D.1倍

答案： A

10. 如果一直角三角形的两条直角边的比为$5:12$,那么斜边和较短的直角边的比为 ()

A.$13:5$
B.$12:13$
C.$169:25$
D.$13:12$

答案： A

11. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠A = 90^{\circ }$,$∠DBC = 90^{\circ }$,若$AD = 3cm$,$AB = 4cm$,$BC = 12cm$,求$CD$的长.

答案： 13 cm

12. 在$△ABC$中,$BC = a$,$AC = b$,$AB = c$,若$∠C = 90^{\circ }$,如图①,根据勾股定理,有$a^{2}+b^{2}= c^{2}$. 若$△ABC$不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想$a^{2}+b^{2}与c^{2}$的关系,并证明你的结论.

答案： 解：
当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$；当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。
证明：
- **当$\triangle ABC$是锐角三角形时：
过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，设$CD = x$，则$BD=a - x$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=c^{2}-(a - x)^{2}$。
所以$b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a - x)^{2}$，展开$c^{2}-(a - x)^{2}$得$c^{2}-(a^{2}-2ax+x^{2})=c^{2}-a^{2}+2ax - x^{2}$。
则$b^{2}-x^{2}=c^{2}-a^{2}+2ax - x^{2}$，移项可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ax$。
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，那么$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$。
- **当$\triangle ABC$是钝角三角形（$\angle C$为钝角）时：
过点$A$作$AD\perp BC$，交$BC$的延长线于点$D$，设$CD = y$，则$BD=a + y$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=b^{2}-y^{2}$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=c^{2}-(a + y)^{2}$。
所以$b^{2}-y^{2}=c^{2}-(a + y)^{2}$，展开$c^{2}-(a + y)^{2}$得$c^{2}-(a^{2}+2ay+y^{2})=c^{2}-a^{2}-2ay - y^{2}$。
则$b^{2}-y^{2}=c^{2}-a^{2}-2ay - y^{2}$，移项可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}-2ay$。
因为$a＞0$，$y＞0$，所以$2ay＞0$，那么$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。
综上，当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$；当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。