《2025年暑假生活八年级数学人教版北京教育出版社》

9. 如图所示,在$\triangle DEF$中,$DE = 17$cm,$EF = 30$cm,$EF边上的中线DG = 8$cm。求证：$DE = DF$。

答案： 解：因为$DG$是$EF$边上的中线，$EF = 30$cm，所以$EG=\frac{1}{2}EF = 15$cm。
在$\triangle DEG$中，$DE = 17$cm，$EG = 15$cm，$DG = 8$cm。
根据勾股定理的逆定理，判断$\triangle DEG$是否为直角三角形，$EG^{2}+DG^{2}=15^{2}+8^{2}=225 + 64=289$，$DE^{2}=17^{2}=289$，所以$EG^{2}+DG^{2}=DE^{2}$，则$\triangle DEG$是直角三角形，$\angle DGE = 90^{\circ}$。
因为$DG\perp EF$，$DG$是$EF$的中线，所以$DG$是$EF$的垂直平分线。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$DE = DF$。

10. 在$\triangle ABC$中,$∠A$,$∠B$,$∠C所对的边分别为a$,$b$,$c$。如果$a:b = 3:4$,$c = 10$,且$a + b + c = 24$,求：
(1)$a$的值；
(2)$∠C$的度数。

答案：
(1)6
(2)$ 90^{\circ} $

11. 已知某校有一块四边形空地$ABCD$,如图,现计划在该空地上种草皮,经测量,$∠A = 90^{\circ}$,$AB = 3$m,$BC = 12$m,$CD = 13$m,$DA = 4$m。若每平方米草皮需100元,则需投入多少元？

答案： 1. 首先连接$BD$：
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$（因为$\angle A = 90^{\circ}$）。
已知$AB = 3m$，$AD = 4m$，则$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5m$。
2. 然后判断$\triangle BCD$的形状：
计算$BD^{2}+BC^{2}$和$CD^{2}$的值，$BD = 5m$，$BC = 12m$，$CD = 13m$。
$BD^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$，$CD^{2}=13^{2}=169$。
所以$BD^{2}+BC^{2}=CD^{2}$，根据勾股定理的逆定理可知$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle DBC = 90^{\circ}$。
3. 接着计算四边形$ABCD$的面积：
$S_{四边形ABCD}=S_{Rt\triangle ABD}+S_{Rt\triangle BCD}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$S_{Rt\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD$，$S_{Rt\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot BC$。
$S_{Rt\triangle ABD}=\frac{1}{2}×3×4 = 6m^{2}$，$S_{Rt\triangle BCD}=\frac{1}{2}×5×12 = 30m^{2}$。
所以$S_{四边形ABCD}=6 + 30=36m^{2}$。
4. 最后计算投入的费用：
已知每平方米草皮需$100$元，则总费用$=100× S_{四边形ABCD}$。
总费用$=100×36 = 3600$（元）。
答：需投入$3600$元。