《2025年暑假生活八年级数学人教版北京教育出版社》

9. 一次函数 $ y = k x + b $ 的自变量的取值范围是 $ - 3 \leq x \leq 6 $,相应函数值的取值范围是 $ - 5 \leq y \leq - 2 $,求这个函数的解析式.

答案： 【解析】：本题需要分$k\gt0$和$k\lt0$两种情况进行讨论。
- **当$k\gt0$时：**
一次函数$y = kx + b$中$y$随$x$的增大而增大。
已知自变量的取值范围是$-3\leq x\leq6$，相应函数值的取值范围是$-5\leq y\leq - 2$，所以当$x = - 3$时，$y = - 5$；当$x = 6$时，$y = - 2$。
将$\begin{cases}x = - 3\\y = - 5\end{cases}$和$\begin{cases}x = 6\\y = - 2\end{cases}$分别代入$y = kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}-3k + b = - 5\\6k + b = - 2\end{cases}$。
用第二个方程$6k + b = - 2$减去第一个方程$-3k + b = - 5$消去$b$可得：
$\begin{aligned}(6k + b)-(-3k + b)&=-2-(-5)\\6k + b + 3k - b&=-2 + 5\\9k&=3\\k&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
把$k = \frac{1}{3}$代入$-3k + b = - 5$可得：
$\begin{aligned}-3×\frac{1}{3}+b&=-5\\-1 + b&=-5\\b&=-5 + 1\\b&=-4\end{aligned}$
此时函数解析式为$y = \frac{1}{3}x - 4$。
- **当$k\lt0$时：**
一次函数$y = kx + b$中$y$随$x$的增大而减小。
因为自变量的取值范围是$-3\leq x\leq6$，相应函数值的取值范围是$-5\leq y\leq - 2$，所以当$x = - 3$时，$y = - 2$；当$x = 6$时，$y = - 5$。
将$\begin{cases}x = - 3\\y = - 2\end{cases}$和$\begin{cases}x = 6\\y = - 5\end{cases}$分别代入$y = kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}-3k + b = - 2\\6k + b = - 5\end{cases}$。
用第二个方程$6k + b = - 5$减去第一个方程$-3k + b = - 2$消去$b$可得：
$\begin{aligned}(6k + b)-(-3k + b)&=-5-(-2)\\6k + b + 3k - b&=-5 + 2\\9k&=-3\\k&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
把$k = -\frac{1}{3}$代入$-3k + b = - 2$可得：
$\begin{aligned}-3×(-\frac{1}{3})+b&=-2\\1 + b&=-2\\b&=-2 - 1\\b&=-3\end{aligned}$
此时函数解析式为$y = -\frac{1}{3}x - 3$。
综上，这个函数的解析式为$y = \frac{1}{3}x - 4$或$y = -\frac{1}{3}x - 3$。
【答案】：$y = \frac{1}{3}x - 4$或$y = -\frac{1}{3}x - 3$

10. 如图,菱形 $ A B C D $ 的对角线 $ A C, B D $ 交于点 $ O $,且 $ A C = 16 \mathrm { cm }, B D = 12 \mathrm { cm } $,求菱形 $ A B C D $ 的高 $ D H $.

答案： $ \frac{48}{5} \mathrm{cm} $

11. 某校决定从八年级三个班中选择一个班作为市级先进班级的候选班,现对这三个班进行综合素质考评,下表是这三个班五项考评的得分表(单位：分,每项满分为 $ 10 $ 分).
(1) 求各班五项考评的平均分.
(2) 如果将道德行为、学习成绩、艺术获奖、劳动卫生、校运动会五项得分按 $ 2 : 3 : 1 : 3 : 1 $ 的比例确定各班的最终得分,那么该校会选择哪个班作为市级先进班级的候选班？

答案：
(1) 8 8.4 8.4
(2) 八年级 3 班