搜索
9. 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,$∠AOD= 120^{\circ },AB= $6 cm,求 AC 的长.
答案：
12 cm
10. 小琼同学在一次班级联欢活动中,用宽度相同的彩带布置教室时,把两种不同颜色的彩带粘贴在一起,发现彩带的重叠部分是一个特殊的四边形(如图). 你知道它是一个怎样的四边形吗? 任意转动这两条彩带,重叠部分仍是这种图形吗? 尝试说明你的判断的正确性.
答案：
解：它是一个菱形，任意转动这两条彩带，重叠部分仍是菱形。
理由如下：
因为彩带宽度相同，所以$AB// CD$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
分别过点$A$，$C$作$AE\perp BC$于点$E$，$CF\perp AB$于点$F$，因为彩带宽度相同，所以$AE = CF$。
根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，可得$S_{//ogram ABCD}=BC\cdot AE = AB\cdot CF$，又因为$AE = CF$，所以$AB = BC$。
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
由于转动彩带过程中，上述证明条件（对边平行、高相等）始终成立，所以任意转动这两条彩带，重叠部分仍是菱形。
理由如下：
因为彩带宽度相同，所以$AB// CD$，$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
分别过点$A$，$C$作$AE\perp BC$于点$E$，$CF\perp AB$于点$F$，因为彩带宽度相同，所以$AE = CF$。
根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，可得$S_{//ogram ABCD}=BC\cdot AE = AB\cdot CF$，又因为$AE = CF$，所以$AB = BC$。
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
由于转动彩带过程中，上述证明条件（对边平行、高相等）始终成立，所以任意转动这两条彩带，重叠部分仍是菱形。
11. 如图,在正方形 ABCD 中,AC 是对角线,AE 平分$∠BAC,EF⊥AC$于点 F. 求证:$BE= CF.$
答案：
解：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$EF\perp AC$，$\angle B = 90^{\circ}$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$BE = EF$。
又因为$EF\perp AC$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\triangle EFC$是等腰直角三角形，则$EF = CF$。
因为$BE = EF$，$EF = CF$，所以$BE = CF$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$EF\perp AC$，$\angle B = 90^{\circ}$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$BE = EF$。
又因为$EF\perp AC$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\triangle EFC$是等腰直角三角形，则$EF = CF$。
因为$BE = EF$，$EF = CF$，所以$BE = CF$。
查看更多完整答案，请扫码查看
