《2025年暑假生活八年级数学人教版北京教育出版社》

10. 如图,在$△ABC$中,$CD⊥AB$于点D,$AC= 20$,$CD= 12$,$BD= 9$.
(1)求BC的长.
(2)求$△ABC$的面积.
(3)判断$△ABC$的形状.

答案：
(1)15
(2)150
(3)直角三角形

11. 如图,矩形ABCD中,$AB= 4$,$BC= 2$,点E,F分别在AB,CD上,且$BE= DF= \frac {3}{2}$,连接AF,EF,EC.
(1)求证：四边形AECF是菱形.
(2)求线段EF的长.

答案：
(2)$\sqrt{5}$

12. 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游. 甲旅行社说：“如果校长买全票一张,那么其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠(即按全票价的60%收费).”若全票价为240元.
(1)设学生人数为x,甲旅行社收费为$y_{甲}$、乙旅行社收费为$y_{乙}$,分别计算两家旅行社的收费(建立函数解析式).
(2)当学生人数是多少时,两家旅行社的收费一样?
(3)就学生人数x讨论哪家旅行社更优惠.

答案： 【解析】：
1. **（1）建立函数解析式**：
对于甲旅行社：
已知全票价为$240$元，校长买全票一张，价格为$240$元，其余学生可享受半价优惠，学生人数为$x$，学生票单价为$240×0.5 = 120$元。
那么甲旅行社收费$y_{甲}=240 + 120x$（$x$为正整数）。
对于乙旅行社：
包括校长在内全部按全票价的六折优惠，总人数为$(x + 1)$人，全票价为$240$元。
所以乙旅行社收费$y_{乙}=240×0.6(x + 1)=144(x + 1)=144x+144$（$x$为正整数）。
2. **（2）求两家旅行社收费一样时的学生人数**：
当$y_{甲}=y_{乙}$时，即$240 + 120x=144x + 144$。
移项可得：$120x-144x=144 - 240$。
合并同类项得：$-24x=-96$。
两边同时除以$-24$，解得$x = 4$。
3. **（3）讨论哪家旅行社更优惠**：
当$y_{甲}\gt y_{乙}$时：
$240 + 120x\gt144x + 144$。
移项得：$120x-144x\gt144 - 240$。
合并同类项得：$-24x\gt - 96$。
两边同时除以$-24$，不等号方向改变，解得$x\lt4$。因为$x$表示学生人数，$x\gt0$且$x$为正整数，所以当$0\lt x\lt4$且$x$为正整数时，乙旅行社更优惠。
当$y_{甲}\lt y_{乙}$时：
$240 + 120x\lt144x + 144$。
移项得：$120x-144x\lt144 - 240$。
合并同类项得：$-24x\lt - 96$。
两边同时除以$-24$，不等号方向改变，解得$x\gt4$且$x$为正整数，此时甲旅行社更优惠。
【答案】：
(1)$y_{甲}=240 + 120x$，$y_{乙}=144x + 144$；
(2)$4$人；
(3)当学生人数$x\gt4$且$x$为正整数时，甲旅行社更优惠；当学生人数$x = 4$时，两家旅行社收费一样；当$0\lt x\lt4$且$x$为正整数时，乙旅行社更优惠。