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9. 下列各式属于最简二次根式的是 ()
A.$\sqrt {15}$
B.$\sqrt {32}$
C.$\sqrt {\frac {2}{3}}$
D.$\sqrt {3a^{3}}$
A.$\sqrt {15}$
B.$\sqrt {32}$
C.$\sqrt {\frac {2}{3}}$
D.$\sqrt {3a^{3}}$
答案：
A
10. 计算：
(1)$2\sqrt {12}×(3\sqrt {48}-4\sqrt {\frac {1}{8}}-3\sqrt {27})$；
(2)$2\sqrt {12}×\frac {1}{4}\sqrt {3}÷5\sqrt {2}-(1-\sqrt {2})^{2}$.
(1)$2\sqrt {12}×(3\sqrt {48}-4\sqrt {\frac {1}{8}}-3\sqrt {27})$；
(2)$2\sqrt {12}×\frac {1}{4}\sqrt {3}÷5\sqrt {2}-(1-\sqrt {2})^{2}$.
答案：
【解析】：
(1)
先将各项根式化简：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$。
则$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$，$4\sqrt{\frac{1}{8}} = 4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，$3\sqrt{27}=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
所以$2\sqrt {12}×(3\sqrt {48}-4\sqrt {\frac {1}{8}}-3\sqrt {27})$
$=4\sqrt{3}×(12\sqrt{3}-\sqrt{2}-9\sqrt{3})$
$=4\sqrt{3}×(3\sqrt{3}-\sqrt{2})$
根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$可得：
$4\sqrt{3}×3\sqrt{3}-4\sqrt{3}×\sqrt{2}$
$=4×3×\sqrt{3×3}-4\sqrt{3×2}$
$=36 - 4\sqrt{6}$。
(2)
同样先化简根式，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。
则$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
$2\sqrt {12}×\frac {1}{4}\sqrt {3}÷5\sqrt {2}-(1 - \sqrt {2})^{2}$
先计算乘除部分：
$2\sqrt{12}×\frac{1}{4}\sqrt{3}=\frac{1}{2}×\sqrt{12×3}=\frac{1}{2}×\sqrt{36}=\frac{1}{2}×6 = 3$。
$3÷5\sqrt{2}=\frac{3}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{5×2}=\frac{3\sqrt{2}}{10}$。
再计算$(1 - \sqrt {2})^{2}$，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$可得：
$(1 - \sqrt {2})^{2}=1^{2}-2×1×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 - 2\sqrt{2}+2=3 - 2\sqrt{2}$。
所以$2\sqrt {12}×\frac {1}{4}\sqrt {3}÷5\sqrt {2}-(1 - \sqrt {2})^{2}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{10}-(3 - 2\sqrt{2})$
$=\frac{3\sqrt{2}}{10}-3 + 2\sqrt{2}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{10}+\frac{20\sqrt{2}}{10}-3$
$=\frac{23\sqrt{2}}{10}-3$。
【答案】：
(1)$36 - 4\sqrt{6}$；
(2)$\frac{23\sqrt{2}}{10}-3$
(1)
先将各项根式化简：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$。
则$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$，$4\sqrt{\frac{1}{8}} = 4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，$3\sqrt{27}=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
所以$2\sqrt {12}×(3\sqrt {48}-4\sqrt {\frac {1}{8}}-3\sqrt {27})$
$=4\sqrt{3}×(12\sqrt{3}-\sqrt{2}-9\sqrt{3})$
$=4\sqrt{3}×(3\sqrt{3}-\sqrt{2})$
根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$可得：
$4\sqrt{3}×3\sqrt{3}-4\sqrt{3}×\sqrt{2}$
$=4×3×\sqrt{3×3}-4\sqrt{3×2}$
$=36 - 4\sqrt{6}$。
(2)
同样先化简根式，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。
则$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
$2\sqrt {12}×\frac {1}{4}\sqrt {3}÷5\sqrt {2}-(1 - \sqrt {2})^{2}$
先计算乘除部分：
$2\sqrt{12}×\frac{1}{4}\sqrt{3}=\frac{1}{2}×\sqrt{12×3}=\frac{1}{2}×\sqrt{36}=\frac{1}{2}×6 = 3$。
$3÷5\sqrt{2}=\frac{3}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{5×2}=\frac{3\sqrt{2}}{10}$。
再计算$(1 - \sqrt {2})^{2}$，根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$可得：
$(1 - \sqrt {2})^{2}=1^{2}-2×1×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 - 2\sqrt{2}+2=3 - 2\sqrt{2}$。
所以$2\sqrt {12}×\frac {1}{4}\sqrt {3}÷5\sqrt {2}-(1 - \sqrt {2})^{2}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{10}-(3 - 2\sqrt{2})$
$=\frac{3\sqrt{2}}{10}-3 + 2\sqrt{2}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{10}+\frac{20\sqrt{2}}{10}-3$
$=\frac{23\sqrt{2}}{10}-3$。
【答案】：
(1)$36 - 4\sqrt{6}$；
(2)$\frac{23\sqrt{2}}{10}-3$
11. 先化简,再求值：$\frac {3}{x-3}-\frac {18}{x^{2}-9}$,其中$x= \sqrt {10}-3$.
答案：
【解析】：
本题可先对原式进行化简，再将$x = \sqrt{10} - 3$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：对原式进行化简**
先对原式中两个分式的分母进行因式分解，再通分，最后进行化简。
**对分母因式分解：**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$x^2 - 9$因式分解可得$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$。
此时原式变为$\frac{3}{x - 3} - \frac{18}{(x + 3)(x - 3)}$。
**通分：**
两个分式的最简公分母为$(x + 3)(x - 3)$，将$\frac{3}{x - 3}$的分子分母同时乘以$(x + 3)$，得到$\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}$。
则原式可化为$\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{18}{(x + 3)(x - 3)}$。
**计算：**
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{18}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{3(x + 3) - 18}{(x + 3)(x - 3)}$
去括号得$\frac{3x + 9 - 18}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{3x - 9}{(x + 3)(x - 3)}$
提取公因式$3$得$\frac{3(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}$
约分可得$\frac{3}{x + 3}$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = \sqrt{10} - 3$代入$\frac{3}{x + 3}$可得：
$\frac{3}{\sqrt{10} - 3 + 3} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
【答案】：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
本题可先对原式进行化简，再将$x = \sqrt{10} - 3$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：对原式进行化简**
先对原式中两个分式的分母进行因式分解，再通分，最后进行化简。
**对分母因式分解：**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$x^2 - 9$因式分解可得$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$。
此时原式变为$\frac{3}{x - 3} - \frac{18}{(x + 3)(x - 3)}$。
**通分：**
两个分式的最简公分母为$(x + 3)(x - 3)$，将$\frac{3}{x - 3}$的分子分母同时乘以$(x + 3)$，得到$\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}$。
则原式可化为$\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{18}{(x + 3)(x - 3)}$。
**计算：**
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{18}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{3(x + 3) - 18}{(x + 3)(x - 3)}$
去括号得$\frac{3x + 9 - 18}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{3x - 9}{(x + 3)(x - 3)}$
提取公因式$3$得$\frac{3(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}$
约分可得$\frac{3}{x + 3}$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = \sqrt{10} - 3$代入$\frac{3}{x + 3}$可得：
$\frac{3}{\sqrt{10} - 3 + 3} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
【答案】：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
12. 已知$x$,$y$为实数,且$y= \sqrt {x-\frac {1}{2}}+\sqrt {\frac {1}{2}-x}+\frac {1}{2}$,求$5x+|2y-1|-\sqrt {y^{2}-2y+1}$的值.
答案：
$ x = \frac{1}{2} $，$ y = \frac{1}{2} $，原式 = 2
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